Числовые ряды

Определение числового ряда и его суммы

Образуем из элементов числовой последовательности символ суммы

(1)

Определение. Выражение (1) называется числовым рядом.

Число называется первым членом ряда (1), – вторым членом; выражение называется общим членом ряда (1). Ряд считается заданным, если задана формула его общего члена. Чтобы определить, скажем, пятый член ряда, требуется подставить в формулу общего члена. Это позволяет кратко записывать ряд (1) с помощью символа суммирования в виде .

Как правило, первый член ряда имеет номер , хотя ряд может начинаться и с любого другого члена последовательности .

Определение. Сумма первых членов ряда (1) называется его n-ой частичной суммой.

Величины , ,…, ,… образуют последовательность частичных сумм ряда (1).

Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то ряд (1) называется сходящимся, число называется суммой ряда (1), и записывают тогда: . Если не существует (в частности, бесконечен), то ряд (1) называется расходящимся. Для расходящегося ряда понятие суммы не определено.

Пример 1. Ряд . Его -ая частичная сумма при . Ряд расходится.

Пример 2. Ряд . Частичная сумма , не существует. Ряд расходится.

Пример 3. Числовой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называется геометрическим:

.

Здесь – первый член геометрической прогрессии, – её знаменатель. С помощью известной формулы суммы первых членов геометрической прогрессии можно показать, что геометрический ряд сходится, если , и его сумма равна .

Простейшие свойства сходящихся рядов

Теорема 1 (о почленном умножении ряда на число). Если ряд сходится и имеет сумму , то ряд , где с – постоянная, также сходится и имеет сумму .

Теорема 2 (о почленном сложении сходящихся рядов). Пусть числовые ряды и сходятся и имеют суммы и соответственно. Тогда ряд также сходится, и его сумма равна .

Определение. Если у ряда (1) отбросить k первых членов, то получится новый ряд , называемый k-ым остатком ряда (1).

Теорема 3. Ряд (1) и любой из его остатков либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Таким образом, если в ряде отбросить, добавить или изменить конечное число членов, то сходимость (или расходимость) этого ряда не изменится. При этом если ряд сходился, то его сумма, вообще говоря, изменится.

Сумма k-го остатка сходящегося ряда обозначается . Для суммы сходящегося ряда справедливо равенство . Отсюда следует, что если вычислить k-ую частичную сумму сходящегося ряда и взять её в качестве приближённого значения суммы ряда S , то ошибка составит величину k-го остатка . При этом имеем .

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то .

Обратное к теореме 4 утверждение неверно.

Пример 4. Ряд называется гармоническим (каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух соседних). Его общий член стремится к нулю: , однако гармонический ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда не является достаточным! С его помощью невозможно установить сходимость ряда. Однако на практике используется его

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если предел общего члена ряда не равен нулю: , или вообще не существует, то ряд расходится.

Пример 5. Ряд расходится, т.к. .

Сходимость рядов с положительными членами

Определение. Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если все его члены неотрицательны.

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:

(u) , (v) ,

причём члены ряда (u) не больше соответствующих членов ряда (v): , . Тогда

а) если ряд (v) сходится и имеет сумму , то ряд (u) также сходится, и его сумма ;

б) если ряд (u) расходится, то ряд (v) также расходится.

Замечание. Теорема 5 остаётся справедливой, если неравенство выполняется, начиная с некоторого номера .

Для сравнения обычно используют геометрический, гармонический и обобщённый гармонический ряды. Обобщённым гармоническим называется числовой ряд вида

, (2)

сходящийся при значениях параметра и расходящийся при (при он является гармоническим рядом).

Для доказательства сходимости некоторого заданного ряда с помощью признака сравнения нужно подобрать сходящийся ряд с бóльшими членами, а для доказательства расходимости – расходящийся ряд с мéньшими членами. Часто на помощь приходит теорема 1 о почленном умножении ряда на число.

Пример 6. Исследуем сходимость ряда . Поскольку при справедливо неравенство , то . Рассмотрим ряд . Он получен из сходящегося обобщённого гармонического ряда умножением на и, следовательно, сходится. По части а) признака сравнения исследуемый ряд сходится.

Теорема 6 (признак Даламбера). Если для ряда со строго положительными членами ( ) существует конечный предел , то при данный ряд сходится, при – расходится.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные относительно номера функции.

Пример 7. Исследуем сходимость ряда . Имеем: , , , поэтому ряд сходится.

Замечание 1. Если , то ряд расходится.

Замечание 2. Если предел равен 1 или вовсе не существует, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Так, ряд сходится, а гармонический ряд расходится, хотя и в том, и в другом случае .

Теорема 7 (радикальный признак Коши). Если для ряда с положительными членами существует конечный предел , то при данный ряд сходится, при – расходится.

Радикальный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда корень извлекается.

Пример 8. Исследуем сходимость ряда .

. Поскольку , то ряд сходится.

К радикальному признаку Коши можно сделать такие же замечания 1, 2, что и к признаку Даламбера.

Теорема 8 (интегральный признак Коши). Пусть функция непрерывна, положительна и не возрастает при . Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

С помощью интегрального признака доказывается, например, сходимость обобщённого гармонического ряда (2).