Задача об объёме цилиндрического тела

Введём в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Рассмотрим в плоскости Oxy конечную замкнутую область D, границей которой является замкнутая кривая Г. Построим на Г как на направляющей линии цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть в области D определена непрерывная положительная функция точки , графиком которой является поверхность , располагающаяся над плоскостью Oxy. Тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – областью D в плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью, будем называть цилиндрическим телом. Вычислим его объём.

Разобьём область D на n непересекающихся элементарных областей с площадями соответственно. Тогда всё цилиндрическое тело окажется разбитым на элементарные цилиндрические столбики с основаниями , и его объём будет равен сумме их объёмов: .

Вычислим приближённо объём i-го столбика, для чего выберем внутри области произвольную точку и «срежем» столбик параллельно плоскости Oxy на высоте . Тогда , и объём приближённо будет равен

. (1)

Ясно, что чем меньше размеры элементарных областей , тем точнее формула (1) представляет объём цилиндрического тела. Назовём диаметром области наибольшее из расстояний между точками этой области: . Если теперь увеличивать до бесконечности число разбиений n, так чтобы величина стремилась к нулю, то приближённое равенство (1) в пределе станет точным:

. (2)

Формула (2) представляет искомый объём цилиндрического тела.

Определение двойного интеграла

Назовём сумму вида (1) интегральной суммой для функции , соответствующей данному разбиению области D на элементарные области и данному выбору точек в каждой из этих областей. Меняя способ разбиения и способ выбора точек, можно составить бесконечное множество таких интегральных сумм.

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого числа существует такое число , что для всех интегральных сумм , у которых , выполняется неравенство при любом выборе точек в элементарных областях .

Предел , если он существует, называется двойным интегралом от функции по области и обозначается символом . Функция называется интегрируемой в области , а область – областью интегрирования.

Таким образом, по определению двойной интеграл, как и определённый интеграл, есть предел интегральных сумм:

. (3)

Вопрос. Для каких функций и областей двойной интеграл заведомо существует?

Ответ. Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то она интегрируема в .

Возвращаясь к задаче об объёме цилиндрического тела, заключаем, что если фигурирующая в ней функция интегрируема в области , то объём (2) равен двойному интегралу от функции по области :

. (4)

В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла выводятся из определения и аналогичны соответствующим свойствам определённого интеграла. Ниже перечислены основные из свойств.

1) «Постоянную можно выносить за знак интеграла»:

, где C – постоянная.

2) «Интеграл от суммы равен сумме интегралов»:

.

3) Аддитивность: если область D представима в виде объединения непересекающихся областей и , то

.

4) Двойной интеграл от функции по области равен площади этой области, так что .

5) Теорема (о среднем значении). Пусть ограниченная функция интегрируема в области , тогда найдётся такая точка , что

.

Вычисление двойного интеграла

Сводится к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

1) Случай прямоугольной области. Пусть область образована прямыми и описывается системой неравенств . Если функция непрерывна в D, то существует двойной интеграл

. (5)

Интеграл в правой части равенства (5) называется повторным интегралом, в нём интегралы и называются соответственно внешним и внутренним интегралами, переменные и – соответственно внешней и внутренней переменными интегрирования.

Если взять за внешнюю переменную, а – за внутреннюю, то имеем аналогичную формулу

. (6)

Формулы (5) и (6) обычно записывают, не употребляя скобок:

.

2) Случай криволинейной области специального вида («правильной» области).

а) пусть D – область, ограниченная прямыми и непрерывными кривыми , так что для всех выполнено неравенство (см. рисунок ). Тогда область , причём любая прямая , параллельная оси Оу, пересекает границу не более двух раз. Такую область будем называть «правильной в направлении оси Оу». Тогда

. (7)

б) если область ограничена линиями , , , , где для всех , т.е. определяется системой неравенств (см. рисунок), то любая прямая , параллельная оси Ох, пересекает границу D не более двух раз. Такую область назовём «правильной в направлении оси Ох» и будем иметь тогда

. (8)

Пример 1. Область определяется неравенствами , , . Перейти в двойном интеграле к повторному интегралу двумя способами.

Перейдём вначале к повторному интегралу вида (7). Как следует из рисунка , в точках области выполняется неравенство . При любом таком прямая, параллельная оси Оу, пересекает , входя в неё через прямую и выходя через верхнюю полуокружность . Поэтому значение внутренней переменной меняется от 0 до , и интеграл .

При способе (8) выбора переменных имеем аналогично , и .