Интегрирование некоторых иррациональностей
1.
Интеграл вида
вычисляется аналогично интегралу от
простейшей рациональной дроби III
типа. Сначала выделением в числителе
производной подкоренного трёхчлена
он сводится к интегралу
.
Последний вычисляется выделением
полного квадрата под знаком радикала.
Пример
13 – Найти интеграл
.
Выделяя
в числителе производную подкоренного
выражения, равную
,
получаем:
.
Будем
в дальнейшем обозначать
рациональную функцию аргументов
,
т.е. функцию, при построении которой над
величинами
производятся только рациональные
операции: сложение, вычитание, умножение
и деление.
2.
Интеграл вида
.
Здесь под знаком интеграла складываются,
вычитаются, умножаются и делятся корни
из
с разными показателями и степенями.
Интеграл рационализируется
(т.е. приводится
к интегралу от рациональной дроби)
подстановкой
,
где
– общий знаменатель дробей
.
Примером вычисления такого интеграла является пример 6.
3.
Аналогично поступают в более общем
случае интеграла
.
Интеграл рационализируется
подстановкой
,
где
– общий знаменатель дробей
.
Пример
14 – Найдём интеграл
Выпишем дробные
показатели степеней двучлена
:
,
,
.
Их общий знаменатель равен 4. Делаем
замену
Тогда
,
и
.
Выделяя целую часть (пример 10) и интегрируя,
получаем:
.
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
1.
Преобразование подынтегрального
выражения с помощью формул тригонометрии,
таких, как формулы понижения степени
,
,
формулы преобразования произведений
в сумму (разность)
,
,
и другие.
Пример
15 –
,
.
2.
Интеграл вида
рационализируется с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
,
поскольку тогда
,
,
,
.
Пример
16 – Найдём интегралы
и
.
Имеем:
.
Тогда
.
Универсальная подстановка часто приводит к слишком громоздким рациональным дробям. В некоторых случаях интеграл можно вычислить с помощью других подстановок.
3.
Подстановка
применяется, когда
,
т.е. когда функция
меняет знак при замене
на
.
При этом
.
4.
Аналогично, если
,
то полагают
,
при этом
.
Пример
17 – Найдём интеграл
.
Поскольку
,
то делаем замену
.
Тогда
.
5.
Если
,
то делают замену
(или
).
Пример
18 – Найдём интеграл
.
Т.к.
и
,
то делаем замену
.
Тогда
и
Интегрирование иррациональностей при помощи
тригонометрических подстановок
В
ряде случаев для интегрирования
рациональных выражений, содержащих
радикалы
,
,
,
бывает удобным переход к тригонометрическим
функциям.
1.
Для интегрирования рациональных
выражений вида
применяют замену
(или
).
2.
Для интегрирования рациональных
выражений вида
применяют подстановку
(или
).
3.
Для интегрирования выражений вида
применяют замену
(или
).
Пример
19 – Сделаем в интеграле
замену
.
Тогда
,
и интеграл
.
Поскольку
,
то
.
Задача интегрирования в конечном виде
Для всякой ли функции существует первообразная и, следовательно, неопределённый интеграл? Ответ на этот вопрос даёт
Теорема (следствие теоремы гл.) – Для любой непрерывной функции существует первообразная.
Если первообразная существует, то всегда ли она является элементарной функцией?
При изучении производных мы видели, что производная элементарной функции есть снова элементарная функция. В рассмотренных примерах нахождения неопределённых интегралов от элементарных функций результат (первообразная) также являлся элементарной функцией. О таких случаях говорят, что задача интегрирования решается в конечном виде.
Однако
первообразная элементарной функции
может не быть элементарной, т.е. задача
её нахождения в конечном виде неразрешима.
Интегралы от функций, для которых
первообразная не является элементарной
функцией, принято называть «неберущимися».
К их числу принадлежат, например,
интегралы
,
,
,
,
,
.
Каждый из них определяет с помощью операции интегрирования новую, так называемую неэлементарную функцию. Некоторые из таких функций весьма употребительны в математике.