Первообразная и неопределённый интеграл
Определение
1.
Функция
называется первообразной
от функции
на некотором промежутке, если на этом
промежутке
дифференцируема и
.
Отметим, что тогда
.
Пример 1 – Функция
является первообразной от функции
,
т.к.
.
Функция
также является первообразной от функции
,
т.к.
.
Перечислим свойства первообразных.
1. Если
–
первообразная от функции
,
то функция
,
где
– некоторая постоянная, также является
первообразной для
.
2. Если
и
– две первообразные от функции
,
то они отличаются между собой на
постоянную величину.
Из свойств следует,
что если для функции
известна
какая-нибудь первообразная
,
то любую другую её первообразную
можно представить в виде
,
где
– постоянная.
Семейство функций
определяет
всё множество первообразных функции
.
Определение
2. Множество
всех первообразных функции
называется
неопределённым
интегралом
от этой
функции и обозначается символом
.
Таким образом, по
определению
.
Пример 2 – Из
примера 1 следует, что
.
Функция
называется подынтегральной
функцией,
выражение
– подынтегральным
выражением,
х
– переменной
интегрирования.
Нахождение всех первообразных данной функции называется её интегрированием.
Перечислим свойства неопределённого интеграла.
1.
(или
).
2.
(или
).
3. «Постоянную можно выносить за знак интеграла»:
. (1)
4. «Интеграл от суммы равен сумме интегралов»:
.
(2)
Каждая формула
дифференциального исчисления,
устанавливающая, что
,
приводит к соответствующей формуле
интегрального исчисления. Из таблицы
основных производных получается таблица
основных неопределённых интегралов, в
которой в целях общности переменная
интегрирования обозначается буквой
.
Таблица основных неопределённых интегралов
1.
(
) 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(
)
9/.
(
)
10.
(
)
10/.
(
)
11.
12.
Способ непосредственного интегрирования
Пусть подынтегральную
функцию
можно представить в виде произведения
,
где
– некоторая функция от
.
Тогда
.
Если интеграл
является табличным:
,
то
.
Такой приём нахождения неопределённого
интеграла называется подведением
функции под знак дифференциала.
Пример 3 – Интеграл
.
Этот
же интеграл можно вычислить по-другому:
.
Замечание
– Пример 3 показывает, что первообразные
от одной и той же функции могут весьма
отличаться друг от друга, будучи, однако,
связанными между собой соотношением
вследствие свойства 2 первообразной.
В некоторых случаях перед подведением под знак дифференциала предварительно выполняются преобразования подынтегрального выражения, например, следующие:
1. Выделение целой части в подынтегральной дроби.
Пример
4 – Интеграл
.
2. Выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене.
Применяется для приведения интеграла к одной из табличных форм 9 – 12.
Пример
5 – Вычислим интеграл
.
Поскольку
,
имеем:
.
Фактически подведение функции под знак дифференциала является частью общего метода интегрирования, называемого