Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные, которые для исходной функции будут частными производными второго порядка. Так, для функции можно определить четыре частных производных второго порядка, обозначаемых символами

, , , .

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Можно определить производные более высоких порядков. Так, для функции можно записать восемь частных производных третьего порядка , шесть из которых смешанные.

Аналогично определяются частные производные высших порядков для функции с любым числом независимых переменных.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала: . При равенстве смешанных производных формулу дифференциала можно записать в виде

. (12)

Аналогичным образом .

Касательная к пространственной кривой

Пусть в пространстве Oxyz кривая задана уравнениями , , ( ), правые части которых имеют непрерывные производные. Пусть точке на кривой соответствует значение , а точке – значение . Тогда координаты этих точек будут соответственно и . Канонические уравнения секущей имеют вид

,

или

,

если разделить на .

Определение. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к вдоль кривой, или, что то же самое, при .

Переходя в уравнении секущей к пределу при , получаем канонические уравнения касательной к кривой в точке :

. (13)

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть задана поверхность с уравнением . Возьмём на ней точку и допустим, что в ней функция дифференцируема. Проведём через точку произвольную кривую , целиком лежащую на поверхности; пусть , , – её параметрические уравнения, правые части которых имеют непрерывные производные в точке , т.е. при соответствующем значении параметра . Тогда кривая имеет в точке касательную с каноническими уравнениями (13).

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой расположены касательные, проведённые в точке ко всем возможным кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку .

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

(14)

.

Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке .

Уравнение нормали имеет вид

. (15)

Если поверхность задана в явном виде функцией , дифференцируемой в точке , то касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение

. (16)

Уравнение нормали к поверхности в этой точке имеет вид

. (17)

Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Имеем , , , . Уравнение касательной плоскости , или ; уравнение нормали .