Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Основные понятия

Определение. Множество всевозможных упорядоченных пар действительных чисел и будем называть координатной плоскостью (или, кратко, плоскостью), а каждую такую пару – точкой этой плоскости.

Числа и называются координатами точки .

Определение. Окрестностью точки на плоскости будем называть внутренность квадрата (или круга) с центром в этой точке.

Определение. Областью на плоскости называется множество D точек плоскости, такое, что:

1) каждая точка из D принадлежит D вместе с некоторой своей окрестностью (свойство открытости);

2) любые две точки из D можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат D (свойство связности).

Определение. Если каждой паре значений переменных величин и из некоторого множества D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определённое значение переменной величины , то переменную называют функцией двух переменных , и записывают . Множество D называется тогда областью определения, а переменные и – аргументами функции.

Геометрически область определения функции двух переменных может быть изображена как область на плоскости Oxy, граница которой может принадлежать ей (замкнутая область) или не принадлежать.

Пример 1. Область определения функции – это множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют неравенству , т. е. замкнутый круг радиуса 1 с центром в точке O.

Пара чисел и определяет положение точки на плоскости Oxy, а также её радиус-вектор . Поэтому функцию можно рассматривать как функцию точки , или как скалярную функцию векторного аргумента .

Аналогично определяются функции трёх, четырёх и более переменных.

Геометрическая интерпретация. Линии уровня

Если для точки из области определения D функции отложить в пространстве Oxyz аппликату , то получим точку . Множество всех таких точек в пространстве называется графиком функции . В общем случае графиком является поверхность; формула есть уравнение этой поверхности. Например, графиком функции является плоскость, а графиком функции – верхняя полусфера радиуса 1 с центром в начале координат. Поверхность-график однозначно проектируется на плоскость Oxy в область определения D.

Однако построение подобных графиков в большинстве случаев затруднительно. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функцию с помощью линий уровня, которые представляют собой множество точек из D, для которых , где – константа. Придавая различные значения, получаем семейство линий уровня, которые наглядно описывают функцию .

Пример 2. Линии уровня функции представляют собой концентрические окружности ( с центром в начале координат.

Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение. Число называется пределом функции в точке , если для любого существует , такое, что для всех точек , отличных от и удовлетворяющих неравенствам (т.е. принадлежащих квадратной окрестности точки ), выполняется неравенство . Обозначают это так: , или так: .

Предел не зависит от того, каким образом точка стремится к точке . Квадратная окрестность точки в определении может быть заменена на круглую .

Все положения теории пределов функции одной переменной переносятся без существенных изменений на функции нескольких переменных.

Определение. Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности. Если

, (1)

то функция называется непрерывной в точке (по совокупности аргументов). Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке области D.

Если в точке нарушается условие непрерывности (1), то функция имеет в этой точке разрыв.

Частные производные

Пусть функция определена в области D. Возьмём в области D точку и, оставляя без изменения, придадим приращение так, чтобы точка принадлежала области D. Величина называется частным приращением функции в точке по аргументу ; эта величина является функцией одного аргумента . Аналогично определяется частное приращение функции в точке по аргументу : .

Определение. Если существуют конечные пределы

,

(2)

,

то они называются частными производными функции в точке по переменным и соответственно.

Символы с «круглым » были введены немецким математиком К. Якóби. Как дроби их трактовать нельзя. Применяются и другие обозначения: .

Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных.

Из определения следует, что частная производная по какой-либо из переменных может быть найдена как обычная производная по этой переменной, при условии, что все прочие переменные считаются фиксированными (постоянными). Следовательно, частные производные вычисляются по тем же правилам, что и производная функции одной переменной.

Пример 3. Найти частные производные функции .

Считаем постоянной и дифференцируем по , пользуясь правилами дифференцирования суммы и степени: . При отыскании , наоборот, считаем постоянной, и дифференцируем по : .