Часть I. Геометрический метод. Симплекс-метод

1. Задача использования ресурсов

Предположим, что предприятие выпускает два вида продукции P1 и P2, используя для их производства 3 вида ресурсов S1, S2, S3. Запас ресурсов и количество единиц ресурса, используемых на производство единицы продукции, приводятся в следующей таблице:

Ресурс	Запас ресурса	Количество единиц ресурса, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
		P1	P2
S1	10	1	2
S2	15	2	1
S3	20	1	–

В этой таблице, например, значение 2 в последнем столбце есть количество единиц первого ресурса S1, используемых на производство единицы продукции P2.

Реализация одной единицы продукции P1 приносит прибыль в 5 у.е., P2 соответственно – 7 у.е. Необходимо выяснить, какое количество каждого вида продукции нужно выпустить для того, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Прежде чем решать подобные задачи, необходимо составить так называемую экономико-математическую модель задачи, т. е. записать на математическом языке условия задачи. Для этого введем следующие обозначения.

Обозначим через план производства каждого вида продукции. Из первой строки таблицы видно, что на выполнение плана производства нам необходимо затратить ресурс S1 в количестве , ресурс S2 в количестве , и ресурс S3 в количестве . В силу ограниченности ресурсов должна выполнятся следующая система неравенств:

Количество произведенной продукции каждого вида не может быть отрицательным. Следовательно

Общая прибыль, которую мы получим после реализации всего количества произведенной продукции, запишется:

Таким образом, задача заключается в нахождении , удовлетворяющего вышеуказанным системам неравенств, при котором функция F принимает максимальное значение.

Обобщим указанный пример на произвольный случай. Предположим, что предприятие производит n видов продукции и при этом использует m видов ресурсов . На изготовление одной единицы продукции затрачивается ресурса в количестве . Запас ресурсов предприятия ограничен значениями . Прибыль от реализации единицы продукции каждого вида равна .

Необходимо выяснить, какое количество каждого вида продукции требуется выпустить для того, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Обозначим через план производства каждого вида продукции. Составим экономико-математическую модель. Необходимо найти , удовлетворяющего системе ограничений:

,

такого, что функция:

принимает максимальное значение.

2. Постановка задачи линейного программирования

Предположим, что имеется m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными:

, (2.1)

, (2.2)

Также имеются условия неотрицательности переменных:

, , (2.3)

Дана целевая функция вида:

(2.4)

Определение 2.1. Общей задачей ЛП называется задача нахождения , удовлетворяющего системе ограничений (2.1)-(2.3), такого, что функция (2.4) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Определение 2.2. Стандартной задачей ЛП называется задача нахождения , удовлетворяющего системе ограничений (2.1), (2.3), где k=m, s=n, такого, что функция (2.4) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Определение 2.3. Канонической задачей ЛП называется задача нахождения , удовлетворяющего системе ограничений (2.2), (2.3), где k=0, s=n, m<n, такого, что функция (2.4) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Определение 2.4. Решение задачи (2.1)-(2.3) называется допустимым решением.

Определение 2.5. Допустимое решение, доставляющее оптимальное значение целевой функции называется оптимальным

Все три формы задачи ЛП являются эквивалентными. Покажем это.

Задачу минимизации функции можно свести к задаче максимизации, и, наоборот, путем замены знаков коэффициентов на противоположные, так как .

Ограничения-неравенства (2.1) можно записать в виде равенств путем введения дополнительных неотрицательных переменных следующим образом.

Ограничение-неравенство вида преобразуется в ограничение-равенство , , а ограничение-неравенство вида - в ограничение-равенство , .

Каждое ограничение-равенство (2.2) можно записать в виде двух неравенств .

Задачу ЛП можно решать различными методами, которые можно разбить на два основных класса: геометрический метод ЛП и аналитические методы ЛП. Рассмотрим вначале геометрический метод.