33.Общий случай пересечения плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.64).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая .

Требуется построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как  прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью  - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок DF определяет линию пересечения плоскостей. Так как  - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D₁F₁ совпадает со следом плоскости _П1 таким образом остается только построить недостающие проекции DF на П₂ и П₃.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 64. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей, когда плоскости занимают общее положение в пространстве.

Задача. Дано: Две плоскости общего положения m,n) и  (ABC) (рис.65).

Требуется построить линию пересечения плоскостей  и  .

а) модель		б) эпюр
Рисунок 65. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей (m//n) и (АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости  и . Найдем линии пересечения этих плоскостей с заданными плоскостями. Плоскость  пересекает плоскость  по прямой (12), а плоскость  - по прямой (34). Точка пересечения этих прямых - К, котораяодновременно принадлежит трем плоскостям ,  и , т.е. искомой линии пересечения плоскостей  и . Плоскость пересекает плоскости  и  по прямым (56) и (7C), точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях , ,  и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей  и . Таким образом, прямая (КМ)является линией пересечения плоскостей   и  .

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. В этом случае точки, определяющие положение линии пересечения плоскостей, находятся как точки пересечения прямой и плоскости.

34.Пересечение плоскостей общего положения заданных следами

Если две пересекающиеся прямые АВи CD одной плоскости βсоответственно параллельны двум другим прямым А₁В₁ и С¹D¹ другой плоскости у, то эти плоскости параллельны (фиг.227). Если две параллельные плоскости β и упересекаются третьей плоскостью а, то линии пересечения АА¹ и ВВ¹параллельны между собой (фиг.228,а). Заменим плоскость а плоскостями проекций П₁ и П₂ (фиг.228,б). Тогда плоскости β и у пересекут каждую из плоскостей проекций по двум параллельным прямым k и k¹; L и L¹ (следам плоскостей). Отсюда следует: если плоскости параллельны, то их следы параллельны; и, наоборот, если следы плоскостей параллельны, то и плоскости параллельны. Этого условия недостаточно для случая, когда на комплексном чертеже следы плоскостей параллельны оси проекций. На (фиг.229,а и б) одноименные следы плоскостей η и η' параллельны оси х₁₂и параллельны между собой, но в данном случае для определения параллельности плоскостей необходимо выяснить взаимное положение профильных следов, и если они будут параллельны, то и плоскости будут параллельны. По чертежу устанавливаем, что профильные следы не параллельны, следовательно, и плоскости η и η' не параллельны, апересекаются по линии b (фиг.229,в).

Если одна пара одноименных следов плоскостей пересекается, то такие плоскости пересекаются; следы линии пересечения должны находиться на пересечении следов плоскостей. 1. Даны две плоскости общего положения а и а' (фиг.230).

Требуется найти линию их пересечения. Одноименные следы плоскостей пересекаются, образуя в точках М (М₁М₂) и N (N₁N₂) следы линий пересечения. Найдя проекции этих точек, соединяем их одноименные проекции прямыми, получим горизонтальную (N₁M₁) и фронтальную (N₂M₂)проекции линии пересечения данных плоскостей. 2. Даны две плоскости: а (к₁ L₃) - общего положения и λ (λ₂) - горизонтальная; требуется найти их линию пересечения. Одноименные следы L (L₂) и λ (λ₂) плоскостей а и λ, пересекаются, образуя точку N (N₁N₂) - след линии пересечения (фиг.231).

Так как линия пересечения h (h1, h₂) плоскостей явится горизонталью (по взаимному положению плоскостей), то проекции линии пересечения должны удовлетворять признакам проекции горизонтали, т.е, горизонтальная проекция h₁ ее будет параллельна проекции горизонтального следа k (k₁), а фронтальная h₂ - параллельна оси x₁₂. (В данном случае проекция h₂ сливается с проекцией λ₂ плоскости λ как лежащая в плоскостиλ).

35.Теорема о частном случае проецирования прямого угла и её применение к решению задач

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпенди-

Рис. 58

Рис. 59

кулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п' (рис. 59). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п'. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В'С'. Но так какАВ || А'В' _|_ В'С', т. е. на плоскости п' угол между А'В' и В'С равен 90°.

36.цель преобразования чертежа

Цель способов преобразования чертежа - приведение геометрических фигур в частное (параллельное или проецирующее) положениеотносительно плоскостей проекций для обеспечения большей наглядности изображения и упрощения решения позиционных и метрических задач.       Способы преобразования можно классифицировать, исходя из основных составляющих аппарата проецирования:       - изменение положения фигур относительно основной системы координат (способ вращения относительно различных осей; способ плоскопараллельного движения);       - изменение положения плоскостей проекций (способ замены плоскостей проекций);       - изменение направления проецирования (способы дополнительного проецирования: косоугольное, окружностное, винтовое и другие).       Тождественное преобразование - преобразование, в котором образ и прообраз совпадают.