
Лекция № 7. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид
Геометрическая
иллюстрация представлена на рис.1. При
этом площадки х=const
являются главными с соответствующими
нулевыми главными напряжениями.
Инварианты тензора напряжений равны
,
а характеристическое уравнение принимает
вид
Корни этого уравнения равны
|
(1) |
Нумерация
корней произведена для случая
Рис.1.
Исходное плоское напряженное состояние.
Рис.2.
Позиция главных напряжений
Произвольная
площадка характеризуется углом
на
рис. 1, при этом вектор п
имеет
компоненты:
,
,
nх=0.
Нормальное и касательное напряжения
на наклонной площадке выражаются через
угол
следующим
образом:
|
(2) |
|
(3) |
Так
как на главных площадках касательное
напряжение отсутствует, то, приравнивая
нулю выражение (3), получим уравнение
для определения угла
между
нормалью п
и осью Оу
|
(4) |
Наименьший
положительный корень уравнения (4)
обозначим через
.
Так как tg(х)—периодическая
функция с периодом
,
то имеем два взаимно ортогональных
направления, составляющие углы
и
с
осью Оу.
Эти направления соответствуют взаимно
перпендикулярным главным площадкам
(рис. 2).
Если
продифференцировать соотношение (2) по
и
приравнять производную нулю, то придем
к уравнению (4), что доказывает
экстремальность главных напряжений.
Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения
,
откуда получим
|
(5) |
Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что
Это
равенство возможно, если углы
и
отличаются
на угол
.
Следовательно, направления площадок с
экстремальными касательными напряжениями
отличаются от направлений главных
площадок на угол
(рис.
3).
Рис.3.
Экстремальность касательных напряжений
Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул
.
После некоторых преобразований получим
Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения
Аналогичная
подстановка в (2) приводит к выражению
для нормальных напряжений на площадках
с
Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.
Рис.4.
Плоская деформация.
По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна
Из рис. 4 следует
Учитывая, что MN=dx, получим
В
случае малых деформаций, когда
,
,
можно
пренебречь квадратичными слагаемыми.
С учетом приближенного соотношения
справедливого при x<<1, окончательно для малой деформации получим
Угловая
деформация
определяется
как сумма углов
и
(4).
В случае малых деформаций
Для
угловой деформации
имеем
Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений
|
(6) |
связывающих линейные и угловые деформации с перемещениями. Эти соотношения носят название соотношений Коши.
Три линейных и шесть угловых деформаций (6) образуют тензор малых деформаций
|
(7) |
Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.
Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры
(рис. 4), а его объем будет равен
.
Относительное изменение объема
в пределах малых деформаций составит
что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.
Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.