2. Пример применения метода Ритца
Требуется найти приближённое решение задачи о минимуме функционала
,
(1)
y(0) = 0, y(1) = 0 (2)
и сравнить с точным решением.
Пусть
(k
= 1, 2, …) – система координатных функций.
Функции φk(x), очевидно, удовлетворяют краевым условиям φk(0) = 0, φk(1) = 0, являются линейно независимыми и представляют в пространстве C1[0,1] полную систему.
При k = 1 получаем y1(x) = α1(x-x2). Подставляя это выражение для y1(x) в функционал (1), получим
Коэффициент α1 находим из уравнения
,
откуда
.
Следовательно,
.
Рассмотрим точное решение. Уравнение Эйлера для данного функционала:
.
Решая это неоднородное линейное уравнение, находим
.
Используя граничные условия y(0) = 0, y(1) = 0, получим окончательно:
.
В результате сравнения точного решения с приближённым получаем:
x |
Точное решение y0(x)
|
Приближенное решение y1(x) |
Невязки |y1(x)-y0(x)| |
0,00 |
0 |
0 |
0 |
0,25 |
-0,044
|
-0,052
|
0,008
|
0,50
|
-0,070
|
-0,069 |
0,001 |
0,75 |
-0,060 |
-0,052 |
0,008 |
1,00 |
0
|
0 |
0 |
δ1 = 0.008,
где незязка δ1 = max| y1(xi) - y0(xi) |
3.Отыскание последовательности итераций по методу Ритца(n=1,2,3,4,5)
C помощью Mathcad 15.
yφ5(x):=y5(x,ω1,ω2,ω3,ω4,ω5) →x(sin(1/2)+2) - 0.127861585917x(1-x)-0.127860095521x2(1-x)+0.001600242723x3(1-x)+0.001630189340x4(1-x)-0.000033285979x5(1-x)
4.Невязки. Графики приближений. Mathcad 15.
(продолжение программы из 4 пункта).
Вычислим невязки: δn = max| yn(xi) - y0(xi) |
Δn = max| yn+1(xi) - yn(xi) |)
Задание шага:
Вычисление:
n=1
δ1=0.006021
n=2
δ2 = 5.026579*10-5
Δ1= 0.005995
n=3
δ 3 =4.434153*10-6
Δ2=5.024098*10-5
n=4
δ 4=2.480472*10-8
Δ3=4.418764*10-6
n=5
δ 5=1.632083*10-9
Δ4=2.479794*10-8
Как показывают расчёты, с ростом n невязки стремятся к нулю.
Так как графики приближения и точного решения слились, выполним их в искаженном масштабе.
6.Результаты работы
В результате проделанной работы, мы получили следующие приближённые решения:
Первое: yφ1(x):=y1(x,α1)→2.008726535498x-0.190988816577x(1-x)
Второе: yφ2(x):=y2(x,β1,β2)→2.008726535498x-0.128545766366x(1-x)- -0.124886100420x2(1-x)
Третье: yφ3(x):=y3(x,µ1,µ2,µ3)→ 2.008726535498x-0.127749218404x(1-x)- -0.128876148013x2(1- x)+0.003990047593x3(1-x)
Четвертое: yφ4(x):=y4(x,θ1,θ2,θ3,θ4)→ 2.008726535498x-0.127860793895x(1-x)- -0.127871188339x2(1-x)+0.001644621520x3(1-x)+0.001563617381x4(1-x)
Пятое: yφ5(x):=y5(x,ω1,ω2,ω3,ω4,ω5) →2.008726535498x-0.127861585917x(1-x)-0.127860095521x2(1-x)+0.001600242723x3(1-x)+0.001630189340x4(1-x)-0.000033285979x5(1-x)
В результате их сравнения были получены следующие невязки:
δ1=0.006021
δ2 = 5.026579*10-5
δ 3 =4.434153*10-6
δ 4=2.480472*10-8
δ 5=1.632083*10-9
(отличия от точного решения)
Δ1= 0.005995
Δ2=5.024098*10-5
Δ3=4.418764*10-6
Δ4=2.479794*10-8
(отличия приближений друг от друга)
Сделаем вывод, что с ростом n невязки стремятся к нулю, т.е. приближения стремятся к точному решению задачи.