МГУПС (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий (ИУИТ)

Кафедра «Прикладная математика-1»

Курсовая работа

по дисциплине

«Вариационное исчисление»

на тему:

«Приближённая минимизация интегрального функционала по методу Ритца»

Выполнил:

студент группы УПМ-311

Зенковский И.В.

Проверил:

доцент Сафро.В.М.

Москва-2013г. Содержание:

Постановка задачи………………………………………………………………3

I. Точное решение………………………………………………………………4

1. Основное условие экстремума………………………………………………4

2. Решение поставленной задачи……………………………………………….5

II. Минимизация заданного функционала по методу Ритца.......................6

1. Описание метода Ритца……………………………………………………...6

2. Пример применения метода Ритца………………………………………….8

3. Отыскание последовательности итераций по методу Ритца (n = 1,2,3,4,5) с помощью Mathcad 15……………………………………………………......10

4. Невязки. Графики приближений. Mathcad 15(продолжение программы из пункта 4)…………………………………………………………………..……….....14

5. Результаты работы………………………………………………………….18

6. Список литературы…………………………………………………………19

Постановка задачи

1. Найти точное решение задачи о минимуме заданного функционала J[y] – экстремаль y₀(x).

y(0)=0; y(1)=2+sin(0.5).

2. Найти n приближённых решений (итераций) y_n(x) задачи о минимуме J[y] по методу Ритца при указанном в задании выборе системы координатных функций φ_k(x), k = 1, 2, …, n.

Координатные функции:

φ _{(x)=(2+sin0.5)*x;} φ _k(x)=x^k _*(1-x) k=1,2,3,4,5.

Исходная точность 0.00001; далее – по ходу задачи.

Сравнить y_n(x) и y₀(x) в 10 точках

x_i = a + 0.1(b-a)i; i = 0, 1, 2, …, 10,

указав (по 10 точкам) невязки

δ_n = max| y_n(x_i) - y₀(x_i) |, n = 1,2,3,4,5;

Δ_n = max| y_n+1(x_i) - y_n(x_i) |, n = 1,2,3,4.

Убедиться в том, что δ_n → 0 ( и Δ_n → 0) с ростом n.

Построить графики y_n(x) и y₀(x).

1. Точное решение

1. Основное условие экстремума

Вариационное исчисление рассматривает решения задач, связанных с минимизацией (или максимизацией) следующего функционала (а так же с обобщениями этой задачи):

.

Здесь - некоторая непрерывная функция трех переменных; допустимыми являются непрерывно-дифференцируемые функции y(x), удовлетворяющие краевым условиям и .

Имеется основное необходимое условие экстремума основной задачи классического вариационного исчисления, которое в известной мере подобно уравнению в основной задаче математического анализа. Здесь основное необходимое условие экстремума заключается в следующем: функция , дающая минимум (максимум) заданному функционалу, должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению второго порядка, так называемому уравнению Эйлера:

.

Функция так же должна удовлетворять краевым условиям и .

Уравнение Эйлера - это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Значения этих постоянных определяются из краевых условий и . Для отыскания экстремали – функции, удовлетворяющей основному необходимому условию экстремума, нужно решить краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.

2. Решение поставленной задачи

Для заданного функционала составим и решим уравнение Эйлера.

F:

+2*y+x=0  8y’’+2*y=-x

Получилось неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Составим характеристическое уравнение: 8λ² + 2 = 0.

Его корни

Следовательно общим решением будет:

y = C₁*sin(0.5*x)+C₂*cos(0.5*x)-0.5x

Используем краевые условия:

y(0) = 0 0=C₁*sin(0)+C₂*cos(0)-0  C₂=0

y(1) = 2+sin(0.5) 2+sin(0.5)=C₁*sin(0.5)-0.5  C₁=(2.5+sin(0.5))/sin(0.5)

В итоге точным решением задачи (т. е. функцией, дающей экстремум J[y]) является:

y(x) = ((sin(0.5)+2.5)/sin(0.5))*sin(x/2)-x/2