Министерство образования Российской Федерации

Московская финансово-юридическая академия (Калининградский филиал)

____________________________________________________________________________

Малаховский Н.В.

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочного отделения

по дисциплине

экономико-математические методы

Калининград, 2009

Оглавление

Тема 1 Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики........….……………..3

Контрольное задание №1……………………………………………………………………..5

Тема 2. Линейное программирование ………………………………………………………6

Контрольное задание №2……………………………………………………………………..11

Тема 3. Двойственные задачи линейного программирования ……...…………….....…12

Контрольное задание №3……………………………………………………………………..14

Тема 4. Динамическое программирование ………………………………………………..15

Контрольное задание №4……………………………………………………………………..18

Тема 5. Элементы теории игр .…………………………………………………..…………..22

Контрольное задание №5……………………………………………………………………..31

Тема 6. Сетевые модели планирования и управления ………………………………….33

Контрольное задание №6……………………………………………………………………..39

Тема 7. Задача об оптимальном назначении ……………………………………………...45

Контрольное задание №7……………………………………………………………………..47

Тема 8. Модель экономичного заказа (управление товарными запасами)....................49

Контрольное задание №8…………………………………………………………………….50

Тема 9. Моделирование систем массового обслуживания (СМО)...................................50

Контрольное задание №9……………………………………………………………………..54

Тема 10. Оптимальная стратегия обновления оборудования……..................................57

Контрольное задание №10……………………………………………………………..…….60

Правила выполнения контрольной работы

В соответствии с учебным планом студенты выполняют индивидуальное задание по курсу экономико-математические методы и сдают зачет.

Индивидуальное задание необходимо выполнять в тетради синими чернилами, оставляя поля для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия, имя, отчество студента, название дисциплины и группы.

Индивидуальное задание должно содержать решение всех задач, указанных в задании, строго по своему варианту. Индивидуальное задание, содержащее решение не всех задач, а так же решение задач не своего варианта, не засчитываются.

Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

Перед решением каждой задачи необходимо написать полностью ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

Индивидуальное задание состоит из 10 задач. Каждая задача содержит 10 вариантов. Номер варианта индивидуального задания выбирается по последней цифре номера зачётной книжки.

Тема 1. Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовая модель)

Модель многоотраслевой экономики была разработана в 1936 году американским экономистом Василием Леонтьевым. Модель Леонтьева применяется в макроэкономике и связана с ведением многоотраслевого хозяйства.

Целью построения данной модели является выяснение объема производства каждой из отраслей производства, который бы удовлетворял все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает как производитель продукции и как потребитель продукции, произведенной в этой и в других отраслях производства.

Предположим, что рассматривается отраслей экономики. Вся произведенная этими отраслями продукция частично идет на внутреннее потребление, а другая (конечная) предназначена для внутреннего и общественного производства.

Рассмотрим период в 1 год. Введем обозначения:

- общий (валовой объем) -ой отрасли производства,

- объем продукции, произведенной - ой отраслью и потребляемой - ой отраслью;

- объем конечного продукта - ой отрасли.

Так как валовой объем продукции - ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой отраслями, и конечного продукта, то справедливо равенство:

которое называется соотношением баланса.

Будем рассматривать модель в стоимостном выражении. Введем коэффициенты прямых затрат:

Коэффициент прямых затрат показывает затраты - ой отрасли на производство единицы продукции - ой отрасли. В некотором промежутке времени коэффициент прямых затрат - постоянная величина. Следовательно, материальные затраты и валовой выпуск имеют линейную зависимость:

В этом случае соотношение баланса примет вид:

В соответствии с экономическим смыслом задачи при и . Обозначим:

- вектор валового выпуска; - вектор конечного продукта;

- матрица прямых затрат. Тогда систему соотношений баланса можно записать в матричном виде:

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который, при известной матрице прямых затрат А, обеспечивает заданный вектор конечного продукта.

Перепишем уравнение в виде: Если матрица не вырождена т.е. то Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент матрицы показывает величину валового выпуска продукции -ой отрасли, необходимую для обеспечения выпуска единицы конечного продукта -ой отрасли.

Матрица называется продуктивной, если для любого существует решение матричного уравнения. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Критерий продуктивности матрицы : все элементы матрицы неотрицательны; и существует столбец такой, что

Задача. В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):

Отрасль		Потребление		Конечный продукт
		энергетика	машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72
	Машиностроение	12	15	123

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение. Имеем

Находим коэффициенты прямых затрат:

Матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: .

Следовательно, для любого вектора можно найти необходимый объем валового выпуска по формуле:

Найдем матрицу полных затрат

По условию вектор конечного продукта тогда получаем вектор валового выпуска .