Прогнозування і попереднє тестування

Розглянемо, наприклад, стандартну лінійну модель множинної регресії:

у = Xβ+γz+ɛ

Припустимо, що дані породжені моделлю (1), можливо, в ній кілька компонент вектора γ дорівнюють 0. При обмеженні S’_I γ= 0 прогноз, заснований на МНК-оцінках , має вигляд

де  

а x_n+1 i z_n+1 позначають набір значень основних та допоміжних регрессоров, для якого ми шукаємо прогнозоване значення. WLAS-прогноз має вигляд

(8)

Зауважимо, що вектор і, таким чином спостерігається, але тим не менше у_н+1 залежить від σ.

Оскільки , помилка прогнозу (FЕ) дорівнює

Теорема 14.4 (теорема еквівалентності для прогнозу).

Математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення WALS-прогнозу дорівнюють

Теорема 14.4 наводить істинні значення моментів помилки прогнозу, враховуючи, що була проведена процедура попереднього тестування. Але у прикладних роботах попереднє тестування не береться до уваги. У роботах вважається, що прогноз незміщений, і наводиться матриця середньо квадратичних відхилень .

відповідно, наводиться наступний 95%-вий довірчий інтервал для у_{н +1}

(9)

де замість σ використовується деяка заможна оцінка σ^. Якщо ж правильно враховувати ефект процедури вибору моделі, то ми отримуємо те ж саме значення прогнозу у_{н +1}, але зовсім інші моменти. Визначимо дві функції наступним чином:

Кожна з функцій залежить також і від σ, оскільки W залежить від σ. Тоді за теоремою 14.4 отримуємо

Звідси 95%-ний довірчий інтервал для у_н++1 наближено дорівнює

(10)

Інтервал наближений, оскільки розподіл FЕ не є нормальним (проте воно є асимптотично нормальним, що і дозволяє зробити це наближення). Крім того, на відміну від (9) довірчий інтервал залежить від невідомих параметрів ɳ і σ.

Коли число спостережень n стає великим, σ^ сходиться до σ, проте ɳ^ не сходиться до ɳ, оскільки . Таким чином, оцінка ɳ^ незміщена. Для того, щоб застрахуватися від «великих» відхилень ɳ^ від ɳ , можна розглянути більш широкий інтервал.

Висновки

Тепер можна відповісти на деякі запитання. По-перше, чи має великий вплив ігнорування процедури попереднього тестування? Вплив може бути дуже значним і залежить від вибраної процедури попереднього тестування. По-друге, чи можна щось зробити з цією проблемою? Так, багато методів що ми розглядали можуть бути запроваджені на практиці. Це не означає, що ми не користуватимемося процедурами попереднього відбору моделей. Ми повинні правильно брати до уваги ефект процедури попереднього тестування. По-третє, чи існує альтернатива pretest-оцінці? Так, наведені теореми можна застосовувати до WALS-оцінки.

Список використаних джерел

1. 

2. Ян Р. Магнус, П.К. Катишев, А.А Пересецький «Економетрика»(2004). Навчальний курс: пос.-6-е видання. – М.: Дело, 2004-576 с.