Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым  ), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Анри Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла(то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — наэлектродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом   в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает соскоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований^[3] (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

Разные формы записи преобразований Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

где   — орты, надо разбить на составляющую   параллельную скорости и составляющую   ей перпендикулярную

Тогда преобразования получат вид

где   — абсолютная величина скорости,   — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

где Лоренц-фактор 

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

где   — единичная матрица     — тензорное умножение трёхмерных векторов.

Как уже отмечено выше, надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где 

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

Свойства преобразований Лоренца

Можно заметить, что в случае, когда   преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда   Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последнее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень высокой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.

Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал для любой пары событий (точек пространства-времени) — то есть любой пары точек пространства-времени Минковского:

Убедиться в этом нетрудно, например, проверив явно то, что матрица преобразования Лоренца   ортогональна в смысле метрики Минковского:

определяемой таким выражением, то есть   Это проще всего проделать для буста, а для трёхмерных вращений это очевидно из определения декартовых координат, кроме того, сдвиги начала отсчёта не меняют разностей координат. Следовательно, это свойство верно и для любых композиций бустов, вращений и сдвигов, что и составляет полную группу Пуанкаре; как только мы узнали, что преобразования координат ортогональны, из этого сразу следует, что формула для расстояния остаётся неизменной при переходе к новой системе координат — по определению ортогональных преобразований.

В частности, инвариантность интервала имеет место и для случая   а значит, гиперповерхность в пространстве-времени, которая определяется равенством нулю интервала до заданной точки — световой конус — является неподвижной при преобразованиях Лоренца (что является проявлением инвариантности скорости света). Внутренность двух полостей конуса соответствует времениподобным — вещественным — интервалам от их точек до вершины, внешняя область —пространственноподобным — чисто мнимым (в принятой в этой статье сигнатуре интервала).

Другие инвариантные гиперповерхности однородных преобразований Лоренца (аналоги сферы для пространства Минковского) — гиперболоиды: двуполостный гиперболоид для времениподобных интервалов относительно начала координат, и однополостный — для пространственноподобных интервалов.

Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц  ) можно представить как:

где  . В этом легко убедиться, учитывая   и проверив выполнение соответствующего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

Если принять введённые Минковским обозначения  , то преобразование Лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось   (для случая движения вдоль оси   — в плоскости  ). Это очевидно, исходя из подстановки   в матрицу, приведенную чуть выше — и её небольшого изменения для того, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты — и сравнении её с обычной матрицей вращения.

Лоренцевское сокращение l = l₀(1 – β²)^1/2

• Длина стержня – разность координат его концов в одно и то же время (Δt = 0) – зависит от системы отсчёта.

• l₀ – длина покоящегося стержня (собственная длина)

• Продольные размеры движущегося со скоростью β стержня сокращаются: l = l₀(1 – β²)^1/2

Импульс и энергия в СТО

• Импульс релятивистской частицы p = m₀v/(1 – v²/c²)^1/2

• Релятивистская энергия: Е = mc²/(1 – v²/c²)^1/2

• Энергия покоя: Е₀ = mc²

• Кинетическая энергия: K = E – E₀;

• Скорость частицы: v = c² p/E

• E² = E₀² + p²c²  pc = (K(K + 2E₀))^1/2

• Для безмассовых частиц: E = pc; v = c

• закон дисперсии релятивистской частицы E = E(p): E = (E₀² + p²c²)^1/2

Замедление времени

Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x = 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов:

t = t ________ 1 - V2/c2 .

(17)

Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной системы отсчета, замедляется.

Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся" часы взаимно отстают друг от друга.

С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс близнецов (см. ниже раздел "Задачи").

Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов, двигавшихся со скоростью v  c, в 6 8 раз по сравнению с временем жизни неподвижных мюонов.

Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.

Лоренцево сокращение длины

Стержень, расположенный вдоль оси 0X движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца:

x1 = 0,   x2 = l = l0  ________ 1 - V2/c2 .

(18)

Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца - Фитцджеральда.

Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается:

V = V0  ________ 1 - V2/c2 .

(19)