4. Теплопроводность через цилиндрическую однослойную стенку. Тепловой поток и термическое сопротивление.

Принцип расчета теплового потока через цилиндрическую стенку аналогична как и для плоской стенки. Рассмотрим однородную трубу (рис.12.2) с теплопроводностью (лямда), внутренний диаметр d₁, наружный диаметр d₂, длина l. Внутри трубы находится горячая среда с температурой t^'_ж, а снаружи холодная среда с температурой t^''_ж.

Количество теплоты, переданной от горячей среды к внутренней стенке трубы по закону Ньютона-Рихмана имеет вид: 

Q = ·d₁·₁·l·(t^'_ж – t₁) , (12.9)

где _{1(альфа)} – коэффициент теплоотдачи от горячей среды с температурой t^'_ж к поверхности стенки• с температурой t₁; Тепловой поток, переданный через стенку трубы определяется по уравнению:

Q = 2···l·(t₁ – t₂) / ln (d₂/d₁). (12.10)

Тепловой поток от второй поверхности стенки трубы к холодной среде определяется по формуле:

Q = ·d₂·₂·l·(t₁ - t^''_ж) , (12.11)

где ₂ – коэффициент теплоотдачи от второй поверхности стенки к холодной среде с температурой t^''_ж. Решая эти три уравнения получаем:

Q =  l·(t^'_ж – t^''_ж) • К, (12.12)

где К_l = 1/[1/(₁d₁)+ 1/(2ln(d₂/d₁) + 1/(₂d₂)] – (12.13) - линейный коэффициент теплопередачи, или R_l = 1/ К_l = [1/(₁d₁)+ 1/(2ln(d₂/d₁) + 1/(₂d₂)] – (12.14)

• полное линейное термическое сопротивление

теплопередачи через однослойную цилиндрическую стенку. 1/(₁d₁), 1/(₂d₂) – термические сопротивления теплоотдачи поверхностей стенки; 1/(2ln(d₂/d₁) - термическое сопротивление стенки. Для многослойной (n слоев) цилиндрической стенки полное линейное термическое сопротивление будет определяться по следующей формуле:

R_l = 1/ К_l = [1/(₁d₁)+ 1/(2₁ln(d₂/d₁) + 1/(2₃ln(d₃/d₂) + … + 1/(2_nln(d_n+1/d_n) + 1/(₂d_n)] – (12.15)

17. Критический диаметр изоляции. Условие эффективной работы изоляции и метод подбора её теплоизоляционных свойств.

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки. Имеем:   При постоянных значениях  ₁, d₁, λ и  ₂ полное термическое сопротивление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть от внешнего диаметра. Из уравнения (2.51) следует, что при этих условиях  . Термическое сопротивление теплопроводности   с увеличением d₂ будет возрастать, а термическое сопротивление теплоотдачи   будет уменьшаться. Очевидно, что полное термическое сопротивление будет определяться характером изменения составляющих   и  . Изменение частных термических сопротивлений изображено на рис.2.8. Чтобы выяснить, как будет изменяться   при изменении толщины цилиндрической стенки, исследуем  , как функцию d₂. Возьмем производную от   по d₂ и приравняем нулю:   Значение d₂ из последнего выражения соответствует экстремальной точке кривой  =f(d₂). Исследовав кривую любым из известных способов на максимум и минимум, увидим, что в экстремальной точке имеет место минимум. Таким образом, при значении диаметра d₂=2λ/ ₂ термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным. Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром и обозначается d_kp. Рассчитывается он по формуле При d₂<d_kp с увеличением d₂ полное термическое сопротивление теплопередачи снижается, так как увеличение наружной поверхности оказывает на термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины стенки. При d₂>d_kp с увеличением d₂ термическое сопротивление теплопередачи возрастает, что указывает на доминирующее влияние толщины стенки. 

Изложенные соображения необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции для покрытия различных цилиндрических аппаратов и трубопроводов. Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенный на трубу (рис.2.9). Термическое сопротивление теплопередачи для такой трубы:   Из уравнения   следует, что   при увеличении внешнего диаметра изоляции d₂ сначала будет возрастать и при d₃=d_kр будет иметь максимум   . При дальнейшем увеличении внешнего диаметра изоляции   будет снижаться (рис.2.10). Выбрав какой-либо теплоизоляционный материал для покрытия цилиндрической поверхности, прежде всего нужно рассчитать критический диаметр по формуле (2.60) для заданных λ_из и  ₂. Если окажется, что значение d_kp больше наружного диаметра трубы d₂, то применение выбранного материала в качестве тепловой изоляции нецелесообразно. В области d₂<d₃<d_kp.из при увеличении толщины изоляции будет наблюдаться увеличение теплопотерь. Это положение наглядно иллюстрируется на рис.2.10. Только при d₃=d_3эф тепловые потери вновь станут такими же, как для первоначального, неизолированного трубопровода. Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения. Значит, для эффективной работы тепловой изоляции необходимо, чтобы d_kp.из≤d₂.  

Пример. Трубу внешним диаметром d=20мм необходимо покрыть тепловой изоляцией. В качестве изоляции может быть взят асбест с коэффициентом теплопроводности λ=0,1Вт/(м×К), коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду  ₂= 5Вт/(м²×К). Целесообразно ли в данном случае использовать асбест в качестве материала для тепловой изоляции? Критический диаметр изоляции Так как d₂<d_kp.из, асбест в рассматриваемом случае использовать нецелесообразно. В настоящей статье вопрос о критическом диаметре рассмотрен применительно к круглому цилиндру. Очевидно, что аналогичный эффект будет наблюдаться и у тел иной геометрии, у которых внутренняя и внешняя поверхности различны.