1.2.3 Непрерывность частных производных в точке и дифференцируемость функции в этой точке

В математическом анализе доказывается теорема, которая устанавливает связь между непрерывностью частных производных и дифференцируемостью функции в точке.

Теорема 6. Если функция z = f(x,y) имеет в точке P(x,y) непрерывные частные производные f_x(х,у) и f_у(х,у), то в этой точке функция дифференцируема.

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f(x,y):

∆ z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x,y).

Рис. 7

Если к правой части этого равенства прибавить и отнять величину f(x, y+∆y), то выражение для ∆z, запишется в виде:

∆z=[ f(x+∆x, y+∆y)- f(x, y+∆y)]+[ f(x,y+∆y)- f(x,y)].

Иными словами приращение функции при переходе от точки P к точке P₁     (рис. 7) мы представили в виде суммы двух приращений: приращения, которое получает функция при постоянном x, то есть при переходе от точки P к точке N, и приращения при постоянном y, то есть при переходе от точки N к точкеP₁.

Выражение в первой скобке является приращением функции f(x,y) при постоянном втором аргументе (y+∆y), когда x получает приращение ∆x. Рассматривая это приращение функции одного x, применим формулу Лагранжа. Будем иметь:

f(x+∆x, y+∆y)- f(x, y+∆y)=  ,

где положение точки Q(ξ₁, y+∆y) показано на рисунке 7.

Точно так же, применяя формулу Лагранжа к выражению во второй скобке как к приращению функции одного y, получим:

f(x, y+∆y)- f(x,y)=  ,

где точка R(x,ξ₂) лежит на отрезке PN.

Таким образом:

∆z=  +  .

Но по условию производные f_x и f_у – функции непрерывные. Так как при   точки Q и R также стремятся к точке P, то можно положить:

= f_x(х,у)+ε₁,

= f_y(х,у)+ε₂,

где ε₁ и ε₂ будут стремиться к нулю вместе с ∆x и ∆y, а следовательно, вместе с ρ=PP= . Подставляя эти выражения в формулу для ∆z, получим:

∆z=[f_x(х,у)+ε₁]∆x+[ f_y(х,у)+ε₂]∆y

или

∆z= f_x(х,у)∆x+ f_y(х,у)∆y+α, (3)

где α= ε₁∆x+ ε₂∆y.

В силу неравенств  ,   имеем:

.

Следовательно,

;

так как ε₁ и ε₂ при   стремятся к нулю, то стремится к нулю и отношение  , то есть α является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ. Поэтому сумма первых двух слагаемых, в правой части равенства (3), линейная относительно ∆x и ∆y, и представляет собой согласно определению дифференциал функции в точке P(x,y), то есть функцияz = f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), что и требовалось доказать.

 

1.2.4 Непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке

Установим связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. В связи с этим докажем теорему.

Теорема 7. Если функция дифференцируема в точке P₀, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если ∆x→0 и ∆y→0, то из определения дифференцируемости следует, что ∆f(x₀,y₀)→0, а это и означает непрерывность функции f в точке (x₀,y₀).

Здесь обратное утверждение не верно, то есть из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий пример:

Пусть дана функция  . Эта функция всюду непрерывна, но  , поэтому частная производная по xв точке (0,0) не существует. Между тем ввиду того, что если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке обе частные производные, если бы функция была дифференцируема в точке (0,0), то существовали бы и частные производные в этой точке; значит функция в точке (0,0) не является дифференцируемой.