§2. Связь между основными понятиями

1.2.1 Непрерывность и ограниченность функции

Установим связь между непрерывностью и ограниченностью функции в точке. Имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то         она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек P_n принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(P_n)|>n. Из последовательности (P_n) точек множества E выделим подпоследовательность  , сходящуюся к некоторой точке P₀ из множества Е. Но теперь имеем:

, при  , при 

ввиду непрерывности f в точке P₀. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.

 

1.2.2 Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке

У функции одного аргумента из существования производной в какой-либо точке вытекает непрерывность в этой точке. В противоположность этому уже у функции двух переменных из существования обеих частных производных еще не вытекает непрерывности функции. Возьмем, например, функцию:

с дополнительным определением f(0,0)=0. эта функция имеет всюду обе частные производные. Во всех точках, кроме начала координат, это вытекает из того факта, что в этих точках знаменатель не обращается в нуль, а в начале координат имеем:

,

.

Очевидно, что эта функция имеет разрыв в начале координат. Говоря геометрически, существование частных производных ограничивает поведение функции лишь по направлениям оси x и оси y, но не налагает ограничений на ее поведение во всех прочих направлениях.

Итак, существование у функции двух переменных обеих частных производных не позволяет делать вывод, что она непрерывна. Однако из существования в замкнутой области ограниченных частных производных вытекает непрерывность функции, как показывает следующая теорема:

Теорема 5. Если функция f(x,y) имеет всюду в области G частные производные f_x(х,у) и f_у(х,у), удовлетворяющие неравенствам:

| f_x(х,у)|<M и | f_у(х,у)|<M,

где число M не зависит от x и y, то f(x,y) непрерывна в области G.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим две точки (х, у) и (х+h, y+k) лежащие в области G. Предположим еще, что оба прямолинейных, взаимно перпендикулярных отрезка, соединяющих эти точки с точкой (x+h, k), лежат целиком внутри области G. Это во всяком случае верно, если (х, у) есть внутренняя точка области G, а точка (х+h, у+k) достаточно к ней близка. Тогда:

f(x+h,y+k)-f(x,y)={ f(x+h,y+k)- f(x+h,y)}+{ f(x+h,y)- f(x,y)}.

Оба члена в первой фигурной скобке правой части отличаются только значением аргумента у, а члены, заключенные во вторую фигурную скобку — только значением аргумента х. Поэтому каждую из этих фигурных скобок можно преобразовать по теореме дифферен­циального исчисления о среднем значении, рассматри­вая первую из этих скобок как приращение функции одного только у, а вторую — как приращение функции одного только х.

 В итоге получим:

f(x+h,y+k)-f(x,y)=k f_y(х+h,у+O₁k)+ h f_x(х+O₂h,y),

где O₁ и O₂ — два числа, лежащих между 0 и 1. Другими словами, производная по у берется в некоторой точке вертикального отрезка, соединяющего точки (x+h,y) и (x+h,y+k), а производная по x — в какой-то точке горизонтального отрезка от точки (х,у) до (x+h,y).

Так как абсолютная величина каждой из этих производных, согласно условию теоремы, меньше числа М, то:

| f(x+h,y+k)-f(x,y)|<M(|h|+|k|).

При достаточно малых значениях |h| и |k| делается сколь угодно малой и правая сторона этого неравенства, а это доказывает непре­рывность функции f(x,y).