Лабораторна робота № 2 Дослідження характеристик лінійних сак за їх передатними функціями

Мета роботи: навчитись будувати за передатними функціями графіки частотних і перехідних характеристик лінійних систем автоматичного керування (САК), знаходити розміщення нулів та полюсів передатної функції САК.

Програма роботи:

1. Згідно свого варіанту завдання побудувати за передатною функцією W(s):

• логарифмічні амплітудно-частотні (ЛАЧХ) і фазно-частотні (ФЧХ) характеристики САК (діаграми Бодé);

• амплітудно-фазно-частотні (АФЧХ) характеристики САК (діаграму Найквіста).

2. Знайти нулі та корені передатної функції W(s) заданої САК і показати їх на комплексній площині.

3. За допомогою зворотного перетворення Лапласа і засобів символьної математики побудувати перехідну характеристику САК.

	Пп. 1 і 3 виконати для двох випадків: заданого варіантом чисельника B(s) і для чисельника, що дорівнює одиниці (B(s) = 1), для аналізу впливу чисельника передатної функції на форму частотної та перехідної характеристик.

4. Зробити висновки про досліджувану САК і вплив на її поведінку чисельника передатної функції.

5. Оформити звіт з роботи у вигляді документа MathCAD.



У звіті про виконану роботу подати: тему, мету та програму роботи; вихідні дані за варіантом завдання; до кожного пункту програми роботи подати розгорнуті пояснення виконуваних дій з фрагментами документа MathCAD та підписами до графіків; отримані результати; висновки: про вплив на поведінку САК чисельника передатної функції системи; про зручність розв'язування задач такого типу в середовищі MathCAD.

Методичні вказівки

Дослідження частотних характеристик системи автоматичного керування (САК) є традиційним методом класичної теорії автоматичного керування (ТАК), яка базується на апараті передатних функцій і застосовує для їхнього аналізу перетворення Лапласа. Використання сучасних математичних застосунків, зокрема, MathCAD, дає змогу значно спростити цей аналіз і зробити процес досліджень легким і зрозумілим.

До п. 1.

Для виведення ЛАЧХ/ФЧХ системи автоматичного керування у застосунку MathCAD потрібно задати дві передатні функції САК – з чисельником, що дорівнює одиниці, та чисельником, що заданий поліномом B(s): і . Для зручності розв'язування задачі поліноми чисельника B(s) і знаменника A(s) передатної функції доцільно описувати окремо. Також для виведення графіків частотних характеристик потрібно:

• задати зміну вхідної частоти  (наприклад, як діапазонну змінну:  : = 0, 0.01 .. 100 ) для наочного відображення частотних характеристик як у нижньому діапазоні частот, так і у верхньому діапазоні;

• створити дві "заготовки" графіків вибором мишкою кнопки або натисканням на клавіатурі символів @ , у які потім внести:

• як аргумент за віссю X – кутову частоту  (на обох графіках задати логарифмічний масштаб);

• як функцію за віссю Y (див. приклад нижче):

• на першому графіку (ЛАЧХ) – модулі обох комплексних передатних функцій і , які у полі графіка набирають через кому і для яких задають логарифмічний масштаб;

• на другому графіку (ФЧХ) – за допомогою вбудованої функції кута комплексної змінної arg задають фази обох комплексних передатних функцій і , що у полі графіка набирають через кому; для осі фаз залишають без змін лінійний масштаб, для осі кутової частоти – логарифмічний.

Для задавання логарифмічного масштабу осей координат (крім осі фази на другому графіку (графік ФЧХ), яка задається в лінійному масштабі) необхідно скористатись діалоговим вікном для форматування графіка (викликається подвійним клацанням лівої кнопки "мишки" на полі графіка), у якому увімкнути режим Log scale для потрібної координати. Для зручності читання інформації з побудованих графіків доцільно нанести лінії сітки, для цього на панелі форматування графіка увімкнути режим Grid lines, як показано нижче. Також не варто експериментувати зі стилем осей координат (Axis Style) і залишити їх за замовчуванням (Boxed), бо саме так прийнято в техніці для частотних характеристик.

Змінити тип ліній графіка на бажаний (наприклад, для виведення результатів на чорно-білу друкарку) можна за допомогою вибору другої закладки меню форматування (Traces), що дає змогу зробити графік виразнішим.

Нижче показано приклад документу MathCAD для побудови ЛАЧХ і ФЧХ САК другого порядку за її передатною функцією (звернути увагу на правила запису уявної одиниці в MathCAD^*)). Під час виклику передатної функції W(s) для побудови графіків потрібно замінити оператор Лапласа s на комплексну частоту j∙ (див. приклад).

Задаємо передатну функцію: Задаємо діапазон зміни частоти:  : = 0, 0.01 .. 100

Досить часто трапляється, що передатна функція САК є високого порядку (четвертого і вище). У цьому разі безпосереднє використання функції визначення кута комплексної змінної arg призводить до появи розривів на графіку фазної частотної характеристики, тому що функція арктангенса, яка використовується функцією arg, визначена лише в діапазоні від – до  рад. (–180º … 180º), що показано далі в прикладі побудови в середовищі MathCAD ЛАЧХ і ФЧХ системи автоматичного керування шостого порядку з передатною функцією .

Задаємо передатну функцію: Задаємо діапазон зміни частоти:  : = 0, 0.1 .. 100

Зрозуміло, що отриманий графік ФЧХ з таким "стрибком" є некоректним, бо не відображає справжньої залежності. Виходом з цього положення є знаходження ФЧХ для кожного нуля (тобто, кореня чисельника передатної функції) і кожного полюса (тобто, кореня знаменника або, як ще його називають, характеристичного полінома) передатної функції САК окремо, бо вони гарантовано містяться в діапазоні від –/2 до /2 рад., а потім – обчислення їхньої суми, тобто знаходити фазну характеристику за формулою

,

де M – число нулів передатної функції;

N – число полюсів передатної функції;

Z_i – i-ий нуль передатної функції;

P_k – k-ий полюс передатної функції;

j∙ – комплексна частота.

Під час реалізації даної формули в середовищі MathCAD потрібно врахувати, що нумерація індексів масивів починається з нуля. Приклад знаходження ФЧХ за цим методом подано нижче.

	Частотний діапазон вибрати достатнім для відображення всіх змін фазної характеристики на графіку.

Приклад: Побудувати графіки ЛАЧХ і ФЧХ САК шостого порядку з передатною функцією .

Задаємо чисельник передатної функції: Задаємо знаменник передатної функції: Задаємо передатну функцію: Задаємо діапазон зміни частоти:  : = 0, 0.01 .. 100 Знаходимо коефіцієнти чисельника передатної функції: Знаходимо нулі передатної функції: Z : = polyroots(CB) Знаходимо коефіцієнти знаменника передатної функції: Знаходимо полюси передатної функції: P : = polyroots(CA) Число нулів M і число полюсів N передатної функції САК Задаємо формулу для знаходження фазної частотної характеристики Будуємо фазну частотну характеристику

Для побудови амплітудно-фазно-частотної характеристики розімкненої системи (діаграми Найквіста) потрібно застосувати функції виділення дійсної частини комплексного числа Re та уявної частини – Im, як показано у прикладі, що поданий нижче.

До п. 2.

Визначити всі корені характеристичного рівняння у застосунку MathCAD можна найпростіше за допомогою засобів символьної (аналітичної) математики (для цього можна поставити курсор на змінну і вибрати пункт меню "Solve for Variable") або за допомогою вбудованої функції polyroots(<вектор-стовбець коефіцієнтів>).

Наприклад,

Задано характеристичне рівняння: A(s) := s4 + 1.3 s3 + 2.1 s2 + 1.2 s + 1.1 Вектор коефіцієнтів характеристичного рівняння, які впорядковані від меншого степеня до старшого: VA := [1.1 1.2 2.1 1.3 1] X := polyroots( VAT ) X = (виведення значення кореня)

Універсальніший спосіб знаходження коренів чисельника та знаменника передатної функції САК (які називаються, відповідно, її нулями і полюсами) реалізується засобами символьної математики програми і дає змогу автоматизувати процес знаходження нулів/полюсів у випадку зміни як цілої передатної функції, так і її коефіцієнтів. Цей спосіб можна реалізувати двома шляхами, що показано далі як фрагмент документа MathCAD.

1) Знаходимо коефіцієнти поліномів чисельника і знаменника Знаходимо нулі Z та полюси P передатної функції (корені поліномів чисельника та знаменника) 2) Інший спосіб знаходження нулів і полюсів лише засобами символьної математики

Для виведення графіка розміщення коренів характеристичного рівняння на комплексній площині за віссю X необхідно подати дійсну частину коренів (функція Re), за віссю Y – уявну (функція Im) (див. рис. 2.1). Масштаб осей координат – лінійний, для наочності бажано відобразити на графіку сітку (Grid lines).

Рис. 2.1. Приклад подання розміщення коренів характеристичного рівняння на комплексній площині

Для виведення на графік символів нулів (  ) та полюсів (  ) без з'єднуючих їх ліній потрібно у вікні форматування графіка (див. нижче) вибрати тип (Type) з'єднуючих ліній – точки (points) і відповідний тип символів у випадаючому меню.

До п. 3.

Для побудови перехідної характеристики САК^*) з передатною функцією W(s), що знаходиться за формулою , у застосунку MathCAD потрібно застосувати зворотне перетворенням Лапласа (символьна математика), а результат виводити з трьома-чотирма десятковими цифрами (цього досить для виведення графіка) і результат присвоїти відповідній перехідній функції.

	Часовий проміжок вибрати достатнім для відображення всієї перехідної характеристики на графіку до її майже повного загасання.

Приклад знаходження перехідної характеристики в застосунку MathCAD із застосуванням зворотного перетворення Лапласа показано нижче.

Знаходимо перехідну характеристику системи Задаємося часом відображення перехідної характеристики t : = 0, 0.01 . . 3