Методичні вказівки

Розрахунок електричних кіл постійного та змінного струмів є однією з найактуальніших задач для інженера-електрика. Зазвичай, такі задачі описуються системами алгебричних рівнянь.

Для розв'язування системи лінійних і нелінійних рівнянь та нерівностей використовується блок розв'язку, що починається ключовим словом Given (дано) і закінчується функцією Find (знайти). Це найуніверсальніша і найпотужніша конструкція для розв'язування рівнянь – з її допомогою можна розв'язувати як одне нелінійне рівняння, так і систему лінійних чи нелінійних рівнянь з нерівностями. Результати роботи блоку розв'язку можна отримати як в символьному (аналітичному) вигляді, так і в числовому.

Результат у символьному (аналітичному) вигляді найпростіше отримати після набирання символьного "дорівнює" Ctrl + . або натисканням відповідної кнопки  на панелі символьної математики внаслідок чого після стрілки  (сим­воль­ного "дорівнює") з'являється результат аналітичних перетворень.

	У випадку символьного розв'язку початкових наближень для блоку розв'язку задавати не потрібно.

Для більш прийнятного вигляду отриманого результату можна застосовувати додаткові ключові слова символьної математики MathCAD:

complex – виконати символьне обчислення в комплексній формі, а результат подати у вигляді  a + i∙b ; у версії 15 MathCAD для цього використовується ключове слово rectangular;

float, m – відобразити значення числових величин з плаваючою комою з точ­ністю m значущих цифр; якщо m в операторі опущено, то прий­маєть­ся 20;

simplify – спростити вираз з використанням арифметичних, алгебричних і тригонометричних перетворень, звести подібні члени, тобто виконати еквівалентні символьні перетворення у напрямку отримання найпрос­тішої форми подання виразу;

expand, expr – розкрити (розкласти, розширити) всі степені, добутки, суми, складні тригонометричні вирази розкладаються на основі екві­валентних тригонометричних перетворень, не розкривається лише вказаний вираз expr. Аргумент expr не є обов'язковий, за його відсутності розкри­ваєть­ся весь вираз;

collect, var1, var2, … – згрупувати у вирази щодо змінних чи виразів від var1 до varn.

Для отримання результату в числовому вигляді потрібно натиснути символ "дорівнює"  = . У цьому випадку перед початком роботи блока розв'язку потрібно задати початкові наближення всім змінним, щодо яких шукається розв'язок, оскільки розв'язування відбувається числовим методом. Якщо для заданих початкових наближень розв'язок не знайдено (тоді застосунок видає відповідне повідомлення), то для його знаходження можна спробувати змінити початкові наближення для шуканих змінних або зменшити значення системної змінної TOL.

	Блок розв'язку Given … Find для дійсних початкових наближень змінних повертає дійсний розв'язок, а для комплексних початкових наближень – комплексний розв'язок.

Блок розв'язку може працювати з системою, яка містить до 400 рівнянь і до 200 додаткових умов для системи нелінійних рівнянь або до 8192 додаткових умов у разі системи лінійних рівнянь. Використання блока розв'язку просте (як і, до речі, інших конструкцій MathCAD) і зрозуміле з поданого нижче прикладу. Зазначимо, що у рівняннях всередині блоку розв'язку необхідно вказувати не звичайний, а потовщений знак символьного дорівнює ═ (наби­рається комбінацією клавіш Ctrl + =) або вводити його з набірної панелі Boolean.

Наприклад: розв'язати систему нелінійних рівнянь:

Після роботи блока розв'язку Given … Find значення змінних, щодо яких шукається розв'язок системи, втрачаються і вони стають невизначеними, через що їх не можна використати далі в MathCAD-документі. Для того, щоб ці змінні містили розв'язок, треба останній рядок записати інакше:

Зауважимо, що у блоці розв'язку Given … Find можна використовувати функції користу­вача, що подають систему рівнянь, а розв'язок записувати у вектор. Систему алгебричних рівнянь можна подавати також і у векторній формі.

Якщо під час розв'язування деяких типів задач (апроксимаційні задачі, оптимізаційні задачі) система не може знайти точний розв'язок або, якщо для цієї задачі він не існує взагалі, то MathCAD виводить на екран відповідне повідомлення. У такому разі доцільно в кінці блока розв'язку застосовувати замість функції Find функцію Minerr. Відмінність між ними полягає в тому, що функція Minerr шукає наближений розв'язок системи, для якого сума квадратів нев'язок рівнянь системи є найменшою. Якщо ця система рівнянь має точний розв'язок, то результати виконання обох функцій Find і Minerr збігаються.

У застосунку MathCAD через контекстне меню внутрішніх функ­цій Find або Minerr, яке викликається натисканням правої кнопки миші на ключовому слові, є змога вибрати відповідний числовий метод для розв'язування конкрет­ної системи алгебричних рівнянь (Рис. 1.3):

Рис. 1.3. Контекстне меню функцій Find та Minerr

AutoSelect – цей режим встановлено за замов­чуван­ням: MathCAD аналізує подану систему рівнянь і під­бирає відповідний числовий метод для розв'язу­вання з умови збіжності розв'язку (автома­тич­ний вибір методу розв'язування);

Linear – використовується симплекс-метод розв'язування систем лінійних алгеб­ричних рівнянь, який не потребує задавання початкових умов;

Nonlinear – група числових ітеративних методів для розв'язування систем неліній­них алгебричних рівнянь:

• Conjugate Gradient – метод спряжених гра­дієнтів;

• Levenberg-Marquardt – метод Левенберґа-Марк­ворта;

• Quasi-Newton – квази-Ньютонівський метод;

Блок розв'язку не може містити: діапазонних змінних; логічних умов з оператором "не дорівнює"; іншого блока розв'язку – кожен блок розв'язку може містити лише одне ключове слово Given та функцію розв'язування Find чи Minerr; оператора присвоєння : = .

Режим автоматичного вибору методу розв'язування працює таким чином: якщо процедура розв'язування нелінійної задачі не є збіжною (розв'язок відсутній) під час застосування методу спряжених градієнтів, то автоматично вибирається наступний метод – Левенберґа-Марк­ворта. Якщо його застосу­вання також не дає результату, то наступним вибирається квази-Ньютонівський метод. Якщо й третій метод не забезпечує збіжності, то на екран видається відповідне повідомлення.

Усі нелінійні методи (Nonlinear) є ітераційними і на кожному кроці вимагають обчис­лення матриці Якобі (матриці, що містить перші похідні – якобіана) з метою визначення напрямку руху, а також матриці Гессе (матриці, що містить другі та змішані похідні) – з метою визначення напрямку збіжності ітераційного процесу обчислення і чи збігається він взагалі. Усі реалізовані в MathCAD нелінійні методи (Nonlinear) різняться алгоритмами подальшого опрацювання цих матриць і реалізують різні напрямки руху вздовж поверхні функції.

Процедура обчислення під час застосування нелінійних методів переривається, якщо:

• похибка між сусідніми ітераціями менша за значення вбудованої змінної TOL (отримане значення приймається розв'язком системи рівнянь);

• похибка напрямку пошуку, який ґрунтується на градієнті функції мети, менша за значення вбудованої змінної TOL (напрямок подальшого руху до розв'язку є невідомим);

• вичерпана максимально допустима кількість ітерацій;

• виконалась умова, за якої похибка від заокруглення не дає змоги забезпечити задану точність обчислень (виникає тоді, якщо задати дуже мале значення змінної TOL).



Якщо виникли проблеми зі знаходженням розв'язку, можна: спробувати змінити початкові умови; задати додаткову логічну умову для звуження області пошуку розв'язку; використати Minerr замість Find для знаходження наближеного розв'язку; зменшити точність (збільшити значення внутрішніх змінних TOL і CTOL.

На прикладі розв'язання задач розрахунку електричного кола постійного струму, що зводиться до знаходження розв'язку системи лінійних алгебричних рівнянь, проілюструємо використання засобів MathCAD для розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

Задача. Розрахувати струми у вітках електричного кола постійного струму (Рис. 1.4) з використанням законів Кірхгофа. Параметри електричного кола: E₁ = 200 B, E₂ = 100 B, E₃ = 150 B, E₄ = 85 B, E₅ = 40 B, R₁ = 50 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 25 Ом, R₄ = 25 Ом, R₅ = 40 Ом, R₆ = 90 Ом, R₀₁ = 0.5 Ом, R₀₂ = 1 Ом, R₀₃ = 1.5 Ом, R₀₄ = 1.75 Ом, R₀₅ = 2.0 Ом.

Рис. 1.4. Розрахункова схема електричного кола постійного струму до прикладу

Для будь-якого електричного кола за першим законом Кірхгофа можна скласти (q – 1) лінійно незалежних рівнянь. Кількість лінійно незалежних рівнянь, які можна cкласти для електричної схеми згідно з другим законом Кірхгофа, дорівнює кількості незалежних контурів n = p – (q – 1).

Алгоритм розрахунку електричного за законами Кірхгофа є таким:

• для заданої електричної схеми визначаємо кількість вузлів q, віток р і незалежних контурів n;

• задаємо умовно-додатні напрями струмів у вітках електричного кола;

• за першим законом Кірхгофа записуємо (q – 1) рівнянь, а за другим  n рівнянь, при цьому вибираємо додатні напрями обходу контурів;

• знаходимо розв'язок сформованої системи лінійних алгебричних рівнянь, що подає значення невідомих струмів віток.

Розв'язування. Дане електричне коло має q = 4 вузли та р = 6 віток. Оскільки коло має р = 6 віток, то невідомих струмів також шість. Для їх знаходження треба скласти р = 6 рівнянь за законами Кірхгофа, а саме q – 1 = 3 лінійно незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа та n = p – (q – 1) = 3 рівнянь для незалежних контурів за другим законом Кірхгофа.

Позначимо на схемі умовно-додатні напрями струмів у вітках і виберемо (як позначено на схемі Рис. 1.4) напрям обходу контуру в трьох незалежних контурах, а також вузли А, В, С для записування незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа. Запишемо рівняння балансу струмів у вузлах А, В, С та балансу напруг у трьох незалежних замкнених контурах:

(1.1)

Таку систему розв'язують без­посереднім використанням блоку розв'язку Given … Find до системи рівнянь (1.1), що й показано у MathCAD-документі нижче.

Подібним чином здійснюють розв'язування електричних кіл змінного струму (задача 2) з використанням комплексних змінних для запису напруг і струмів.