Вопрос 18 Компонентные и топологические уравнения гидравлической и пневматической подсистемы

Основными фазовыми переменными этих подсистем являются массовый расход Q_m и давление р.

Рассмотрим компонентные уравнения гидравлической подсистемы для участка трубопровода длиной l и диаметром d.

Потери давления (р₁, р₂ – давление на начальном и конечном участках трубопровода соответственно) при стационарном ламинарном течении жидкости с кинематической вязкостью могут быть определены по формуле Пуазейля:

где R_г = 128vlQ_m/(nd⁴) – гидравлическое сопротивление.

Любая полость в гидравлической подсистеме может рассматриваться как емкость. Если полость заполнена жидкостью, компонентное уравнение гидравлической системы получается из обобщенного закона Гука:

где C_г – приведенная гидравлическая емкость, C_г = Vp/E_ж; V – объем емкости; Е_ж – модуль упругости жидкости.

Инерционные свойства жидкости позволяет учесть одномерное уравнение Эйлера (закон движения идеальной жидкости):

где v – скорость течения жидкости; – изменение давления на участке трубопровода длиной l, обусловленное инерционными свойствами жидкости.

Умножив обе части уравнения на pS и заменив на получим

где L_Т = l/S – гидравлическая индуктивность.

Топологические уравнения гидравлической подсистемы выводятся на основе законов, утверждающих, что сумма потоков в любой общей точке системы и сумма перепадов давления на замкнутом контуре равны нулю:

Для пневматической подсистемы все уравнения имеют аналогичный вид, разница будет заключаться только в значениях коэффициентов.

19 Вопрос Компонентные и топологические уравнения тепловой подсистемы

Компонентные и топологические уравнения для тепловой подсистемы идентичны по форме уравнениям рассмотренных подсистем за исключением того, что в тепловой подсистеме присутствуют только два типа основных элементов: элементы теплопроводности и теплоемкости. Фазовыми переменными являются температура Т и тепловой поток Ф = dQ/dt, где Q – количество теплоты.

При выделении элементов твердое тело разбивается на участки, каждый из которых характеризуется средней теплоемкостью С_Т. По определению

следовательно,

Кроме того, каждый участок обладает теплопроводностью. Математическая модель теплового сопротивления получается из уравнения Фурье:

где q – плотность теплового потока; – коэффициент теплопроводности; Т – температура.

Если рассматривать передачу теплоты вдоль участка однородного тела с площадью поперечного сечения S и длиной l, то

где – тепловое сопротивление; – разность температур на границах элемента.

Для участков контакта твердого тела с жидкой или газообразной средой тепловое сопротивление определяется теплопередачей конвекцией. Компонентное уравнение элемента сопротивления имеет в данном случае аналогичный вид, но , где S – площадь контакта; – коэффициент теплопередачи.

Топологические уравнения для тепловых подсистем следуют из уравнения теплового баланса для стационарного процесса теплопередачи и закона, устанавливающего, что сумма изменений температуры при обходе по замкнутому контуру равна нулю: