14 Вопрос методы получения математических моделей

Математическая модель ТО в САПР обычно создается пользователем на основе уже разработанных и имеющихся в библиотеке ММ элементов и соответствующего программного обеспечения.

Получение моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае – процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает разработчик модели. В то же время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей, протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата по принятой форме. Основу получаемых моделей обычно составляют системы уравнений, отражающих зависимости фазовых переменных. Такие модели чаще всего относятся к алгоритмическим и адекватны в сравнительно широких диапазонах изменения переменных.

Экспериментальные методы основаны на использовании экспериментально полученных зависимостей между параметрами и фазовыми переменными объекта. Эксперименты при этом могут проводиться на самих объектах, на их физических моделях (макетах и стендах) или с использованием их полных ММ. Для целей моделирования используются пассивные и активные эксперименты. При пассивных экспериментах условия опыта остаются постоянными. В случае использования активного целенаправленного эксперимента опыты проводятся по заранее разработанному плану, определяющему количество опытов и значения факторов в каждом опыте. В зависимости от методов планирования преимущества активных экспериментов перед пассивными могут выражаться в сокращении сроков разработки модели и в получении оптимального положения области ее адекватности.

В процессе преобразования экспериментальных данных в ММ возможны их аппроксимация, усреднение, статистическая обработка. Последнее характерно при постановке пассивных экспериментов, когда связь между выходными и внешними параметрами носит не функциональный, а статистический характер. Для получения модели в такой ситуации часто применяют регрессионный анализ.

Экспериментальные методы получения ММ удобны для моделирования безынерционных объектов с относительно гладкими зависимостями между переменными. Результатом применения этих методов становятся модели, имеющие частный характер.

Несмотря на неформальный характер большинства операций, используемых при разработке моделей элементов различных объектов, имеется ряд общих положений и приемов. Достаточно общий характер имеют методика макромоделирования, математические методы планирования экспериментов, а также алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения области адекватности.

В общем случае методика получения ММ элементов объекта включает в себя следующие этапы.

Этап 1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности.

Этап 2. Сбор априорной информации о свойствах моделируемого объекта. Источниками собираемых сведений могут служить знания и опыт инженера, научно-техническая литература, прежде всего справочная, ММ и результаты эксплуатации существующих аналогичных объектов и т. п.

Этап 3. Синтез структуры ММ – получение общего вида уравнений модели без конкретизации численных значений фигурирующих в них параметров. Часто проектировщику модели удобнее оперировать не уравнениями, а эквивалентными схемами, с помощью которых инженеру проще устанавливать физический смысл различных элементов ММ.

Этап 4. Определение численных значений параметров ММ. Данная задача решается как минимизации погрешности модели заданной структуры. Возможны следующие приемы выполнения этого этапа:

– использование специфических расчетных соотношений с учетом собранных на 2 этапе сведений;

– решение экстремальной задачи, в которой в качестве целевой функции выбирается степень совпадения известных значений выходных параметров объекта с результатами использования модели, а управляемыми параметрами являются параметры модели;

– проведение экспериментов и обработка полученных результатов.

Этап 5. Оценка точности полученной модели и определение областей адекватности. Для оценки точности должны использоваться значения выходных параметров, которые не фигурировали в задаче минимизации погрешности. При неудовлетворительных результатах оценки выполняют итерационное приближение к желаемому результату повторением этапов 3–5.

Этап 6. Представление полученной модели в форме, принятой в используемой библиотеке моделей. Наличие в методике макромоделирования эвристических и формальных операций обусловливает целесообразность разработки моделей элементов в диалоговом режиме с ЭВМ. Язык взаимодействия человека с ЭВМ должен позволять оперативный ввод исходной информации о структуре модели, об известных характеристиках и параметрах объекта, о плане экспериментов.