1 Вопрос математические модели объектов проектирования

Математической моделью (ММ) называют совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и связей между ними, отображающих важнейшие для проектирования свойства технического объекта (ТО). Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т. д.

При автоматизации проектирования специфика проектируемых объектов находит свое отражение прежде всего в их ММ. При проектировании таких сложных объектов, как трактор, приходится иметь дело с множеством ММ отдельных агрегатов, узлов, деталей, причем каждый из элементов конструкции требует, как правило, разработки нескольких ММ, описывающих ограниченный круг свойств элемента.

Структура – это упорядоченное множество элементов и их отношений. Технический объект при системном подходе представляется системой, состоящей из упорядоченно взаимодействующих элементов. Структура технического объекта характеризуется качественным и количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами, называемыми параметрами элементов.

Параметр – это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Под объектом здесь понимается как отдельный элемент технической системы, так и вся система в целом. Следует отметить, что параметрами технической системы являются показатели качества и эффективности: производительность, рабочая скорость, грузоподъемность, удельная материалоемкость, удельная энергоемкость, габариты, масса, показатели надежности, показатели качества переходных процессов и др. Эти параметры называют выходными параметрами ТО:

– вектор выходных параметров ТО.

Если структура ТО определена, то его выходные параметры зависят только от параметров элементов и параметров внешней среды:

(1.1)

где f – функциональная зависимость, определяемая структурой ТО; – вектор внутренних параметров; – вектор внешних параметров.

Внутренние параметры – это параметры элементов, из которых состоит ТО. Например, двигатель и трансмиссия являются элементами трактора. их выходные параметры – мощность двигателя, передаточные числа трансмиссии и одновременно это внутренние параметры трактора.

Внешние параметры – это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование ТО.

Например, для комбайна внешняя среда – убираемая культура и опорная поверхность. Параметры опорной поверхности включают в себя углы продольного и поперечного уклонов, коэффициенты сопротивления качению и сцепления колес с почвой. Параметры убираемой культуры – урожайность, её плотность и влажность, а также другие физико-механические свойства.

Уравнения, решение которых требуется для определения выходных параметров, обычно являются математическим описанием функционирования проектируемого объекта. В этих уравнениях независимыми переменными могут быть время, частота, пространственные координаты, а зависимыми переменными – фазовые переменные (величины, характеризующие состояние объекта, называются также переменными состояния). Примерами фазовых переменных могут служить скорости, силы, напряжения и деформации в механических системах, давления и расходы в гидравлических системах, напряжения, токи, заряды в электрических системах и т. д.

К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся механические напряжения и деформации, давления, температуры, электрические потенциалы, концентрации частиц, плотности токов. В связи с учетом характера воздействий и фазовых переменных, распределенных в пространстве, эти модели называют распределенными. Подобные модели используются, например, для определения распределения напряжений в деталях конструкции, распределения температуры по поверхности и внутри накладок фрикционного сцепления в процессе его включения, исследования процесса взаимодействия пневматического колеса с дорогой. Усложнение задачи при увеличении протяженности пространственных и временных областей приводит к необходимости перехода к следующему иерархическому уровню – макроуровню.

На макроуровне производится дискретизация пространства с выделением в качестве элементов отдельных деталей. Элементами этого уровня являются объекты, которые на микроуровне рассматривались как системы (например, валы, пружины, элементы сопротивления). Параметры этих элементов, являясь на микроуровне выходными, становятся внутренними. Примерами выходных параметров макроуровня являются касательная сила тяги колеса, время и работа буксования фрикционного сцепления, уровень нагрузки в отдельных элементах конструкции.

Математические модели на макроуровне представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые в частных случаях решения статических задач превращаются в системы алгебраических или трансцендентных уравнений. Для их получения и решения используют численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют силы, скорости, температуры, расходы, электрические напряжения, токи и т. д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой.

С увеличением числа элементов системы возможности решения задач с использованием ММ макроуровня резко сужаются. В этом случае целесообразен переход к следующему, более высокому иерархическому уровню.

Элементами трактора на метауровне можно считать двигатель, коробку передач, ведущий мост, колесо. Моделирование на метауровне позволяет выполнить тяговый расчет трактора, решить вопросы компоновки машин, выполнить основные расчеты на прочность и сопротивление усталости деталей.