Контрольний приклад

Методом сіток виконати рішення змішаної задачі для хвильового рівняння

в області

з початковими умовами ,

та граничними умовами , .

Результати одержати для , , обчислюючи значення функції з чотирма десятковими знаками.

;

;

;

.

Підставивши задані величини у вищенаписану програму, одержимо відповідь у вигляді результатів обчислень:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0 0.500 0.505 0.520 0.545 0.580 0.625 0.680 0.745 0.820 0.905 1.000

1 0.650 0.506 0.524 0.553 0.594 0.646 0.708 0.779 0.860 0.949 1.000

2 0.800 0.507 0.528 0.562 0.609 0.667 0.736 0.814 0.900 0.993 1.000

3 0.950 0.508 0.532 0.570 0.623 0.688 0.764 0.848 0.940 1.036 1.000

4 1.100 0.509 0.536 0.579 0.637 0.709 0.792 0.883 0.980 1.080 1.000

5 1.250 0.510 0.539 0.587 0.652 0.730 0.820 0.917 1.020 1.124 1.000

6 1.400 0.511 0.543 0.596 0.666 0.751 0.848 0.952 1.060 1.168 1.000

7 1.550 0.512 0.547 0.604 0.680 0.772 0.876 0.986 1.100 1.212 1.000

8 1.700 0.513 0.551 0.613 0.695 0.793 0.904 1.021 1.140 1.256 1.000

9 1.850 0.514 0.555 0.621 0.709 0.814 0.932 1.055 1.180 1.299 1.000

10 2.000 0.515 0.559 0.630 0.723 0.835 0.960 1.090 1.220 1.343 1.000

Кількість розбивок по осі OX = 104 ; крок розбивки= 0.10000;

крок по часовому шару= 0.05000; кількість кроків = 10.

Хі. Рішення рівняння лапласа методом сіток

11.1. Побудова різницевої схеми

Розглянемо чисельні методи рішення, що застосовуються до рівнянь еліптичного типу. Однак щоб не захаращувати виклад, обмежимо детальне обговорення випадком двовимірного рівняння Лапласа в прямокутній області.

Поставимо задачу. Знайти неперервну функцію u(х,у), яка задовольняє всередині прямокутної області рівняння Лапласа

(11.41

і приймає на границі області D такі значення:

(11.42

де задані функції, що задовольняють умові неперервності и(х,у) на границі області, тобто

, .

Так, поставлена задача називається задачею Діріхлє або першою крайовою задачею для рівняння Лапласа (11.41).

Припустимо, що и(х, у) має неперервні похідні по х та у до 4-го порядку включно.

Замінимо область D сітковою областю. Для цього, вибравши кроки h і l по х та у відповідно, будуємо сітку

,

де

Введемо позначення . Замінимо у внутрішніх вузлах сітки похідні в (11.41) різницевими відношеннями другого порядку:

.

Підставляючи ці співвідношення в (11.41), відкинувши похибку апроксимації похідних, одержимо різницеві рівняння для невідомих :

.(11.4)

Похибка заміни диференціального рівняння (11.41) різницевим (11.43) складає величину O ( h²+l ² ).

Якщо тепер позначити , то різницеві рівняння (11.43) можна переписати у вигляді

.(11.44)

де i=1,2,...(n-1), k=1,2,...(m-1);

Рівняння (11.44) можна представити схематично, накресливши п'ять вузлів і позначивши біля кожного з них відповідний коефіцієнт. У результаті одержимо пятиточковий тришаровий шаблон (рис. 5), що геометрично ілюструє різницеву апроксимацію диференціального рівняння.

Р ис.5.

Зазначимо, що змінні

відповідні крапкам сітки, що лежить на сторонах квадрата області D, визначаються з граничних умов (11.42):

(11.45)

Система рівнянь (11.44)— (11.45) — це різницева схема неперервної задачі (11.41)—(11.42). Рішення цієї різницевої схеми є наближення до точного рішення и(х, у) у вузлах .