XII. Проблеми збіжності рішення. Алгоритм чисельного рішення

12.1 Збіжність рішення

Альтернативу мітодам Гаусового виключення складають ітераційні методи: метод Якобі (метод простої ітерації) і метод Гауса-Зейделя. Докладний розгляд цих методів знаходиться у відповідних книгах, наприклад книзі Самарського А.А і Николаева Э.С., або в книзі: Вазов В. Р. , Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.: ИЛ,1963.- 427 с. Розглянемо застосування ітераційних методів до дискретного аналога (11.47) рівняння Лапласа.

Якщо матриця коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь строго діагонально домінуюча, тобто

, (12.50)

то ітерації Якобі й ітерації Гауса-Зейделя сходяться до єдиного рішення за будь-якої початкової умови. Різницева схема (11.47) не задовольняє вимозі строгого діагонального домінування. Дійсно, у кожному рядку матриці коефіцієнтів систем рівнянь (11.48), (11.49) один з елементів дорівнює (+4); і якщо в рядку є п’ять відмінних елементів, то сума інших чотирьох дорівнює (– 4), так що співвідношення (12.50) як строгі нерівності не виконуються. Однак підкреслимо, що співвідношення (12.50) накладають надмірно жорсткі обмеження на достатню умову збіжності ітераційного процесу. Насправді для багатьох, якщо не для більшості, дискретних аналогів еліптичних рівнянь у частинних похідних матриця коефіцієнтів різницевих рівнянь буде симетричною і позитивно визначеною. У таких випадках ітерації Гауса-Зейделя завжди збігаються, хоча для збіжності методу Якобі симетричність і позитивна визначеність не є достатніми.

Можна показати, скориставшись іншим підходом, що для різницевих рівнянь (11.47) обидва розглянутих методи збігаються у випадку, якщо матриця коефіцієнтів є нерозкладною і діагонально домінуючою, причому хоча б одне зі співвідношень

(12.51)

виконується як строга нерівність. Тоді система рівнянь має єдине рішення і як ітерації Якобі, так і ітерації Гауса-Зейделя збігаються до цього рішення при будь-якому початковому наближенні. Умові збіжності (12.51), як це випливає з систем (11.48)—(11.49), різницева схема (11.47) дійсно задовольняє. Можна показати, що матриця коефіцієнтів рівнянь (11.47) нерозкладна і, отже, ітераційний процес для дискретних аналогів еліптичних рівнянь у частинних похідних буде збіжним. Метод Якобі для цієї задачі збігається вдвічі повільніше.

Метод Гауса-Зейделя в застосуванні до еліптичних різницевих рівнянь називається методом Л і б м а н а, що складається в побудові послідовності ітерацій вигляду:

(12.52)

де верхніми індексами s позначено порядковий номер ітерації. Формула (12.52) отримана з (11.47). Згідно (12.52), нове наближення буде середнім значенням двох нових і двох старих наближень у чотирьох сусідніх вузлах сітки (рис.5).

Ітераційний процес продовжується доти, поки усі стануть досить близькі до .

Як критерій близькості можна прийняти умову

, (12.53)

де визначається максимальне значення різниці для всіх i, а – деяке позитивне число, що визначає похибку. По виконанні критерію ітераційний процес варто зупинити.

Похибка наближеного рішення, отриманого методом сіток, складається з двох похибок: похибки апроксимації диференціального рівняння різницевим; похибки, що виникають в результаті наближеного рішення системи різницевих рівнянь (11.47).

Відомо [3, 10, 19], що при h>0 процес Лібмана збігається до точного рішення вихідної задачі, незалежно від вибору початкового наближення . Варто мати на увазі, що в силу принципу максимуму для значень шуканої функції повинні бути виконані нерівності: де m, M — мінімальне і максимальне значення функції и(х,у) на границі області D.

Тому доцільно припустити: , що сприяє більш швидкому завершенню ітераційного процесу.