7 Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности появления одного из них на условную вероятность появления другого события.

Доказательство.

Пусть опыт сводится к схеме случаев.

Пусть опыт имеет n элементарных равновозможных исходов, из которых событию A благоприятными являются m исходов, событию B - k исходов, а событию AB - l исходов, тогда

Из m исходов, в которых наступает событие A, благоприятных событию B, будет l исходов, поэтому условная вероятность события B равна

Аналогично из k исходов, в которых наступает событие B, благоприятных событию A, также будет l исходов, поэтому условная вероятность события A равна

Отсюда произведения вероятностей

Из этих выражений следует справедливость теоремы.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Частный случай теоремы умножения вероятностей: если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий

Доказательство:

Пусть события A и B независимы между собой, тогда

но

Следовательно,

8 Формула полной вероятности.

Постановка задачи. Пусть событие A может произойти только совместно с одним из следующих событий: которые являются несовместными между собой и составляют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Требуется определить вероятность появления события A.

Решение.

По условию задачи событие A можно считать суммой произведений событий

Откуда вероятность события A будет равна сумме вероятностей этих событий

В компактной форме записи формула полной вероятности имеет вид

Пример 1: Приемник обнаруживает сигнал в условиях помех с вероятностью 0,5, а при отсутствии помех с вероятностью 0,8. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность появления помех при приеме равна 0,4.

Решение.

Обозначим: через A – событие приема сигнала приемником; - событие появления помехи при приеме сигнала; - событие отсутствия помехи при приеме сигнала.

Тогда вероятности гипотез и будут равны: а условные вероятности события A при условии гипотез и равны:

Согласно формуле полной вероятности вероятность события A

9 Теорема гипотез (Формулы Бейеса).

Постановка задачи. Пусть событие A может произойти только совместно с одним из следующих событий: которые являются несовместными между собой и составляют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Провели испытание, и событие A произошло. Какая из гипотез вероятнее всего реализовалась?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо определить условную вероятность гипотезы где i – 1,2,…,n.

Согласно теореме умножения вероятностей

. Откуда условная вероятность гипотезы будет равна

, где P(A) – полная вероятность.

В общем случае формула Байеса запишется в виде

,

где - вероятность гипотезы после испытания, давшего событие A;

- вероятность гипотезы до испытания.

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие A произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий .

Априорные (до опыта) вероятности известны, и требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности .

Пример 2: Неисправность в первом блоке передатчика влечет понижение выходной мощности с вероятностью 0,6, а неисправность во втором блоке - с вероятностью 0,2. Надежность работы первого (второго) блока характеризуется вероятностью 0,7 (0,3).

Какой из блоков необходимо проверить на исправность в первую очередь, если зафиксировано падение выходной мощности?

Решение.

Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить условные вероятности гипотез: , ,

где A – событие падения выходной мощности;

- событие неисправности в первом блоке;

- событие неисправности во втором блоке.

Из условия задачи априорные вероятности гипотез будут равны

а условные вероятности события A - .

Тогда апостериорные вероятности определяются по формуле Байеса, т.е.

,

.

Вывод: в первую очередь необходимо проверить первый блок передатчика, так как больше, чем .