27 Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
Если случайная
величина X
подчинена нормальному закону, то для
оценки параметров и проверки различных
гипотез относительно этих параметров
необходимо знание точного распределения
некоторых выборочных характеристик.
Например, для нахождения распределения
эмпирической дисперсии необходимо
исследовать распределение характеристик
случайной величины, представляющей
собой сумму квадратов n
независимых случайных величин
,
каждая из которых подчиняется нормальному
закону с параметрами a=0
и
.
Распределение
случайной величины, удовлетворяющей
этим условиям, называют хи–квадрат
распределением
или
-
распределением с
k=n
степенями свободы.
Число степеней
свободы равно числу независимых
переменных минус число связей,
накладываемых на эти переменных. Если
величины
связаны одним линейным соотношением,
например,
,
то число степеней свободы k=n-1.
Дифференциальная функция - распределения для нее имеет вид
при x>0,
f(x)=0
при x<=0.
Здесь
- гамма – функция.
В частности, если
x=n,
то
Для дифференциальной
функции
-
распределения из-за ее сложности
составлены таблицы, позволяющие вычислять
вероятности
,
того, что случайная величина, распределенная
по закону
с известным
числом степеней свободы k,
превысит некоторое фиксированное
значение
.
График плотности вероятности - распределения при числе степеней свободы n=1, 2 и 6 изображен на рис. 5.3.
Рисунок 5.3 - График плотности вероятности - распределения
Распределение
статистики
не зависит ни от математического ожидания
случайной величины X,
ни от дисперсии, а зависит лишь от объема
выборки n.
Если случайная величина имеет
распределение с k=n
степенями свободы, то математическое
ожидание и дисперсия соответственно
равны:
.
Пример. Случайная величина имеет - распределение с числом степеней свободы 5. Найти отклонение , вероятность превышения которого равна 0.2.
Решение.
Из условия задачи
следует, что надо найти такое значение
,
чтобы выполнялось равенство
.
Искомое значение
ищется на пересечении строки 5 и столбца
0,2 таблицы (приложение). Оно равно 7,3,
поэтому
.
Распределение
обладает тем свойством, что сумма величин
,
распределенные по закону
со степенями свободы равными
,
также распределена по закону
с
степенями свободы.
При решении многих задач статистики приходится иметь дело со случайными величинами, имеющими так называемое распределение Стьюдента или t-распределение. Это же распределение применяется при нахождении оценки отклонения выборочного среднего от центра нормального распределения.
Распределение Стьюдента имеет случайная величина
,
где Z
– случайная величина, распределенная
по нормальному закону с параметрами
a=0
и
;
V
– независимая от Z
случайная величина, распределенная по
закону
с k=n
степенями свободы.
Дифференциальная функция распределения Стьюдента имеет вид
.
Распределение Стьюдента обладает тем свойством, что с возрастанием числа степеней свободы оно быстро приближается к нормальному распределению (рис.5.4).
Рисунок. 5.4 – Графики нормального распределения и t - распределения
Доверительные границы для средних. Статистические оценки параметров распределения генеральной совокупности, рассмотренные ранее, являются точечными оценками. Если объем выборки невелик, то точечная оценка параметра может значительно отличаться от самого параметра. Поэтому в этих случаях применяют интервальную оценку. Задача интервальной оценки заключается в том, что по данным выборки строится такой числовой интервал (доверительный интервал), внутри которого с заранее заданной вероятностью, близкой к единице, будет находиться оцениваемый параметр.
Пусть для неизвестного
параметра a
найдена оценка
и задана вероятность
,
близкая к единице (доверительная
вероятность).
Требуется найти такое значение
,
чтобы интервал
длины 2
накрыл искомое значение параметра a
с вероятностью (надежностью)
,
иначе говоря, выполнялось равенство
или
.
Безусловно, чем меньше длина интервала, тем точнее оценка искомого параметра a. При этом выбор доверительной вероятности (надежности) не является математической задачей, а определяется условиями задачи.
Например, пусть на двух предприятиях вероятность выпуска стандартных изделий равна 0,99, т.е. вероятность бракованных изделий равна q=0,01. Мала или велика эта вероятность? Для ответа на этот вопрос необходимо знать характер выпускаемой продукции. Пусть одно предприятие выпускает гвозди, а другое – парашюты. Если из 100 гвоздей один окажется бракованным, то с этим в какой-то степени можно мириться. Если же из каждых 100 парашютов один будет бракованным, то это может привести к многочисленным несчастным случаям, что недопустимо.