11. Кинематика вращательного движения

Если в процессе движения абсолютно твердого тела (рис.2.1) его точки А и В остаются неподвижными, то и любая точка С тела, находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной. В противном случае расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению об абсолютной твердости тела. Поэтому движение твердого тела, при котором две его точки Аи В остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения.

Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При вращении твердого тела расстояния М А и МВ и расстояние ρ точки М до оси вращения должны оставаться неизменными. Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны этой оси. Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке, называют вращением тела вокруг неподвижной точки - центра вращения. Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времени может изменяться.

При вращательном движении, в отличие от поступательного, скорости   разных точек тела неодинаковы.Поэтому скорость   какой-либо точки вращающегося тела не может служить характеристикойдвижения всего тела.

Пусть т. О - центр вращения тела, а   - неподвижная (или мгновенная) ось вращения (рис.2.2).

Положение произвольной т. М тела будем задавать с помощью радиус-вектора  , проведенного из центра О. Из рисунка видно, что:

,

где - радиус-вектор, проведенный в точку дуги окружности, по которой движется т. М. За малое время вектор   поворачивается в плоскости перпендикулярной  , на малыйугол  . На такой же угол поворачивается за время   радиус-вектор любой другой точки тела, т.к в противном случае расстояние между этими точками должны были измениться. Таким образом, угол поворота характеризует перемещение всего вращающегося тела за малый промежуток времени. Удобно ввести вектор  элементарного (малого) поворота тела, численно равный   и направленный вдоль мгновенной оси так, чтобы из его конца поворот тела был виден происходящим против часовой стрелки.

Векторная величина

называется угловой скоростью тела. Вектор   направлен вдоль мгновенной оси вращения в сторону, определяемую правилом винта, т.е. также как вектор элементарного поворота  . Модуль вектора угловой скорости равен  . Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом:

т.е. при равномерном вращении   показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Время, за которое тело совершает один оборот, т.е. поворачивается на угол  , называется периодом обращения. Так как промежутку времени   соответствует угол поворота  , то

Откуда Число оборотов   в единицу времени, очевидно, равно: отсюда следует, что угловая скорость

В случае неравномерного движения   не остается постоянной. Величина, характеризующая скорость изменения угловой скорости называется угловым ускорением и равна:

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изменение вектора   обусловлено только изменением его численного значения. При этом вектор   углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и   при ускоренном вращении   и при замедленном   в обратном направлении.

По аналогии с прямолинейным равноускоренным движением для линейной скорости υ и пути s получим равенства

 υ=υ0+akt , (4)

 s=υ0t+akt22 , (5)

из которых после исключения времени t следует полезное соотношение:

 υ2−υ20=2aks . (6)

Подставив в равенства (4)-(6) s = rφ, υ = rω, a_k = rε, υ₀ = rω₀ и упростив, получим соотношения

 ω=ω0+εtφ=ω0t+εt22ω2−ω20=2εφ .