26.Основные характеристики случайных процессов. Акф, вкф и их свойства.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Универсальной характеристикой для них является функция распределения F₁(x), определяющая вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше некоторого числа.

F₁(x)–интегральный закон распределения.

–плотность вероятности(дифференциальный закон распределения).

Полными вероятностными характеристиками системы случайных является законы распределения вероятности задаваемые либо F₁(x), либо W₁(x).

В статистической радиотехнике основное практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин, которые характеризуются W₁(x).

Наиболее важными числовыми характеристиками являются мат ожид.- m_x и дисперсия- D_x и отклонение b_x.

, где Q₁–характеристическая функция, u–вещественная функция.

Если случайная величина изменяется во времени, то вводят понятие случайного процесса X( t).

Случайный процесс называется стационарным, если его плотность вероятности произвольного порядка n зависит только от интервала t₂-t₁, t₃-t₁…t_n-t и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В радиотехнике условие стационарности ограничивается условием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностью вероятности.

Это позволяет считать, что m_x , D_x, не зависят от времени, а корреляционная функция не зависит от моментов, а определяется только . Дальнейшее упрощение анализа достигается при условии эргодичности процесса.

Стационарный процесс называется эргодическим если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

АКФ

Чем медленнее изменяется во времени , тем уже энергетический спектр. С другой стороны, скорость изменения определяет ход корреляционной функции. Очевидно, что между и имеется тесная связь.

Существует теорема Винера — Хинчина, утверждающая, что и связаны между собой преобразованиями Фурье;

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире энергетический спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и, соответственно, чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Большой интерес представляет белый шум, когда энергетический спектр равномерен на всех частотах .

Если в выражение подставить то получим

где — дельта-функция,

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений , кроме , при котором обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта - коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

ВКФ

Связь между двумя стационарными процессами и оценивается с помощью взаимно - корреляционной функции, определяемой выражениями

В данном параграфе рассматриваются эргодические процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение

Как и для детерминированных колебаний, взаимно - корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на одной из функций или заменить на сдвиг в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства:

Из последних выражений вытекают следующие соотношения между и :

Соотношения (4.49)—(4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций и не обязательна четна относительно (см. §2.16).

В итоге корреляция между значениями функций и различных момента времени, разделенных интервалом , задается корреляционной матрицей

где и — корреляционные функции соответственно процессов и .