16.Поверхности

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

   В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности можно разделить на отдельные группы, которые указаны на рис.3.4.     Линейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы с помощью прямой линии.     Нелинейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы только с помощью кривой линии.     Развертывающиеся поверхности - поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.     Неразвертывающиеся поверхности - поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.     Поверхности с постоянной образующей - поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности.    Поверхности с переменной образующей - поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности. 

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получитсяконическая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Примеры:

• Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).

• Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).

• Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипсавокруг одной из его осей.

• Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.

• Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.

• Круговая цилиндрическая поверхность

• Катеноид

"Поверхность, одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл.

Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям)

Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

• Поверхности вращения;

• Винтовые поверхности;

• Поверхности с плоскостью параллелизма;

• Поверхности переноса.

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.

Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости ? (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n

Пересечение многогранником плоскостью.

I, а. Треугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П₁ и рассечена плоскостью а общего положения. Требуется:  а) построить проекции сечения;  б) найти натуральную величину фигуры сечения; в) построить развертку поверхности усеченной призмы; г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы. В этом случае горизонтальная проекция фигуры сечения сливается с горизонтальной проекцией призмы, так как боковые ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П₁. Для построения фронтальной проекции воспользуемся горизонталями. Через точку А₁ - горизонтальную проекцию ребра - проводим прямую, параллельную проекции следа k₁ - горизонтальную проекцию h₁ горизонтали. Затем найдем ее фронтальную проекцию h₂, которая, пересекаясь с фронтальной проекцией ребра D₂E₂ в точке А₂определит фронтальную проекцию точки пересечения ребра призмы с плоскостью а. I, б. Аналогичным построением находим остальные точки пересечения ребер призмы плоскостью а (В₂, С₂), после чего соединим последовательно прямыми точки А₂, В₂, С₂ и А₂ и получим фронтальную проекцию А₂В₂С₂фигуры сечения - треугольника. I, в. Натуральную величину фигуры сечения находим путем совмещения плоскости а с плоскостью П₁ вращением вокруг проекции следа k₁ II и III. Построение развертки поверхности усеченной призмы и аксонометрических проекций аналогично соответствующим построениям для пятиугольной призмы 

МЕТОД СФЕР

Способ сфер можно применять при определенных условиях:

1)пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения

2)пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, || плоскости проекций, при этом, если оси вращения поверхностей пересекаются, то для определения точек линий пересечения поверхностей применяют вспомогателные концентрические сферы.

Если оси проекции сферы скрещивающиеся то применяют способ эксцентрических сфер.

Вспомогательные сферы с мин. радиусом должна вписываться в одну поверхность и пересекать другую одновременно.

Чтобы определить радиус сферы из точки пересечения осей проводят нормаль к поверхности ( | к образущей)

Большую из нормалей принимают за радиус минимальной сферы.

Для определения центра вспомогательной сферы на одной из поверхностей выделяют окружность, из центра отой окружности проводят |, отмечают точку пересечения проведенного | с осью вращения воторой поверхности, эту точку и принимают за центр вспомогательной сферы.

Способ секущих плоскостей

Линией пересечения поверхностей называют такую линию, точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям.

Для того, чтобы провести проекции линии пересечения поверхностей необходимо сначала определить множество точек, принадлежащих обеим поверхностям и затем соединить их плавной линией.

Точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей определяют по след-му алгоритму:

1)вводят вспомогательную поверхность пересекающую обе заданных поверхностей (желательно по графически простым линиям)

2)определяют проекции линий пересечения вспомогательной поверхности с каждой их хаданных

3)отмечают точки пересечения, построенных линий пересечения

эти точки и будут общими для обеих заданных поверхностей и следовательно принадлежать их линии пересечения.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

9.4.1.Пересечение проецирующих тел вращения     Рассмотрим пересечение двух цилиндров (рис. 9.7), ось вращения одного из которых перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а другого - профильной.     Поверхности цилиндров относятся к поверхностям второго порядка. Следовательно, линия их пересечения будет пространственной кривой четвертого порядка.   Рис. 9.7.

   Вертикальный цилиндр проецируется на виде сверху в окружность. Так как линия пересечения принадлежит одновременно двум цилиндрам, то дуга F₁'D₁'B₁'A₁B₁D₁F₁ является горизонтальной проекцией линии пересечения. Горизонтальный цилиндр проецируется в окружность на виде слева. Следовательно, дуга А₃В₃D₃F₃F₃С₃А₃' является профильной проекцией линии пересечения.     На рис. 9.7 построены проекции характерных точек, которые находятся на пересечении линий связи, проведенных от вида сверху и от вида слева. Для более точного проведения фронтальной проекции линии пересечения следует построить также проекции промежуточных точек.  9.4.2.Пересечение проецирующего тела вращения с непроецирующим

   При построении линии перехода проецирующего и непроецирующего геометрических тел следует иметь в виду, что одна из проекций линии пересечения известна. Она будет совпадать с одной из проекций проецирующего тела.     На рис. 9.8 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости П₁, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода непроецирующей поверхности тора.   Рис. 9.8.

   Проекции промежуточной точки 1 на видах спереди и слева (1г и 1з) определяются при помощи параллели торовой поверхности, проходящей через точку 1. Проекцией параллели на виде сверху является отрезок прямой Т₁Т₁'. На виде слева параллель проецируется в окружность радиуса О₃Т₃. Профильная проекция точки 1 строится на проекции параллели с помощью координаты Y₁, которая определяется на виде сверху. В свою очередь, фронтальная проекция точки 1 находится на пересечении горизонтальной и вертикальной линий связи.     Необходимо отметить, что вместе с построением проекций точки 1 на видах определяются проекции еще трех симметричных ей точек 1', 1" и 1'''.     Проекции характерных точек А, А', В, В' можно получить аналогичными построениями. Но точки А и А' находятся на пересечении главных фронтальных меридианов. Следовательно, известны и фронтальные проекции точек А и А'. Точки В и В' находятся на пересечении главных профильных меридианов. Следовательно, известны профильные проекции точек В и В'. Недостающие проекции этих точек находим по линиям связи.  9.4.3.Пересечение непроецирующих тел вращения с параллельными осями     На рис. 9.9 приведен пример построения проекций линий пересечения между сферической и конической поверхностями. Представленная геометрическая модель является прототипом широко распространенных форм в химическом машиностроении, где от сферических поверхностей крышек отводятся патрубки, к которым крепятся подводящие или отводящие рабочую среду трубопроводы.   Рис. 9.9.

   Анализ показывает, что на чертеже нет ни одной проекции линии пересечения. В этом случае для построения проекций линий перехода вводятся дополнительные поверхности-посредники. В основе указанного способа находится известное положение геометрии о том, что если у расположенных на поверхности линий имеются общие точки, то в этих точках линии пересекаются.     В качестве посредников необходимо выбирать такие секущие поверхности, которые будут пересекать заданные геометрические тела по графически простым линиям - прямым или окружностям.     Если оси поверхностей вращения параллельны, то в качестве посредников удобнее применять плоскости, так как, расположив плоскость перпендикулярно осям геометрических тел, получим в пересечении плоскости с поверхностями две окружности. Возможно и другое расположение секущей плоскости, дающей при пересечении с заданными поверхностями графически простые линии.     Построение характерных точек, ( рис. 9.9 -а). Для построения проекций крайних правых и левых точек линии перехода (А и В) через главный фронтальный меридиан конической поверхности проводится вспомогательная секущая плоскость уровня - фронтальная плоскость ( ₁).     Плоскость-посредник пересекает поверхность сферы по окружности радиуса ОТ, а поверхность конуса - по главному фронтальному меридиану. Точки А и В пересечения полученных окружности и трапеции принадлежат и поверхности конуса и поверхности сферы. Следовательно, они принадлежат линии пересечения указанных поверхностей. Фиксируем фронтальные проекции точек А и В. Их горизонтальные проекции строим по линиям связи.     Две другие характерные точки высшая С и низшая D определяются при помощи введения горизонтально проецирующей плоскости-посредника Г (Г₁). Эта плоскость проходит через центр сферы и ось конической поверхности, т.е. является общей плоскостью симметрии сферы и конуса.     Плоскость Г пересекает поверхность сферы по окружности, которая на фронтальную плоскость проецируется в эллипс, не являющийся графически простой линией. Поэтому плоскость Г вместе с полученными сечениями сферы и конуса поворачивают до положения параллельного плоскости П₂. Фронтальные проекции повернутых линий сечения пересекаются в точках C₂ и D₂, которые являются проекциями искомых точек после вращения.     Для нахождения их исходного положения на чертеже построены проекции образующих m (m₁, m₂) и n (n₁, n₂) до вращения. Обратное вращение точек С и D осуществляется проведением отрезков C₂-C₂ и D₂-D₂ - фронтальных проекций дуг вращения. Горизонтальные проекции точек С и D получаются в пересечении вертикальных линий связи с горизонтальным следом плоскости-посредника Г.     Построение промежуточных точек ( рис. 9.9 -б). Проекции промежуточных точек 1 и 2 получены при помощи фронтально проецирующей плоскости-посредника ( ₂). Эта плоскость рассекает коническую поверхность и сферу по окружностям - параллелям k и l. На виде сверху фиксируются точки пересечения проекций параллелей (1₁ и 2₁) - горизонтальные проекции искомых промежуточных точек. Фронтальные проекции этих точек находятся на пересечении вертикальных линий связи с фронтальным следом плоскости-посредника Г.     На последней стадии выполнения чертежа полученные проекции точек линии перехода соединяются в плавную замкнутую линию с помощью лекала.