Построение проекций многогранников
Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится к построению проекций точек. Например, проецируя пирамиду SABC на пл.я2 (рис. 256, слева), мы строим проекции вершин S, А, В и С и, как следствие, проекции основания ABC, граней SAB, SBC, SAC, ребер SA, SB и др.
Также, проецируя трехгранный угол ') с вершиной S (рис. 256, справа), мы, помимо вершины S, берем на ребрах угла по одной точке (К, М, N) и проецируем их
на пл. я2; в результате получаем проекции ребер и граней (плоских углов) трехгранного угла и В целом самый угол.
На рис. 257 изображены многогранное тело ACBB1D... (т. е. часть пространства, ограниченного со всех сторон плоскими фигурами — многоугольниками) и его проекция на пл. я1 — фигура A'C'F [E[DID'E'F'. Каждая точка, расположенная внутри очерка этой фигуры (т. е. линии, ограничивающей ее), является проекцией по крайней мере двух точек поверхности этого тела. Например, точка с двойным обозначением М' и N' служит проекцией точек М и N, лежащих на общей для них проецирующей прямой.
Точка, лежащая на самом очерке проекции, является проекцией или одной точки (например, А' есть проекция точки А), или нескольких, а иногда и множества точек (например, В' является проекцией не только точки В, но и множества точек грани ABC, расположенных на проецирующей прямой В В').
Проецирующие прямые, проходящие через все точки очерка проекции, в своей совокупности образуют проецирующую поверхность, внутри которой, касаясь ее, заключено данное тело. Для тела, изображенного на рис. 257, проецирующая поверхность состоит из плоскостей о^, а2, а3 и т. д. Линия касания проецирующей поверх-
') В данном случае выпуклый, т. е. такой, который весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной.
Рис. 256
Рис. 256
ности и тела называется контуром тела по отношению к выбранной плоскости проекций. На рис. 257 таким контуром служит ломаная ACF1E1D1DEFA 1).
Проецирующей поверхностью при параллельном проецировании является, как это указывалось в § 1, поверхность цилиндрическая. Если контур тела по отношению к плоскости проекций содержит прямолинейные отрезки, то проецирующая поверхность для каждого такого участка обращается в плоскую.
Проведенная на проекции прямая В'В{ является проекцией ребра BBV видимого по отношению к пл. п1. Показ на проекции тела всех видимых его ребер является обязательным.
Проекция отрезка FF1 получается внутри очерка проекции; она показана штриховой линией, так как, по условиям видимости, точки отрезка FFi при проецировании на пл. невидимы.
Построение проекции гранной поверхности также сводится к построению проекций некоторых точек и прямых линий этой поверхности. Проекция поверхности, ограничивающей какое-либо тело, имеет очерк, общий с очерком проекции этого тела. В случае изображения бесконечно простирающейся поверхности отделяют линиями некоторую ее часть и тем устанавливают условный контур по отношению к плоскости проекций.
Многогранник называется правильным, если его грани - правильные многоугольники, причем в каждой его вершине сходится равное число таких многоугольников.
Заметим, что число многоугольников, сходящихся в одной вершине - 3 или больше. Возьмем три пятиугольника - они действительно образуют уголок "шапочку". Три шестиугольника уже лежат в плоскости, а вот три семиугольника - не влезут. => грани правильных многогранников не более, чем шести угольны. Т.е. правильный многогранник может быть с гранями треугольными, квадратными и пятиугольными. Причем в одной вершине может сходиться три квадрата или три пятиугольника, или три, четыре или пять треугольников.
Вариант первый. Грани многогранника - квадраты (в каждой вершине сходится три квадрата). Пусть число вершин такого многогранника - В. => число граней 3В/4. Заметим, что в каждой вершине ребер сходится столько же, сколько и граней. Число ребер такого многогранника 3В/2. Мы знаем, что В+Г-Р=2. Составим уравнение: В+3/4 В-3/2 В=2. В=8. Т.е. у такого многогранника 8 вершин, 6 граней и 12 ребер. Т.е. это куб.
Вариант второй. Грани многогранника правильные пятиугольники (в каждой вершине сходится по три пятиугольника). Г=3В/5. Р=3В/2. В+Г-Р=2. В=20. Г=12. Р=30. Это додекаэдр.
Вариант третий. Треугольники, по три. Г=3В/3=В. Р=3В/2. =>В=4=Г, Р=6. Это тетраэдр.
Вариант четвертый. Треугольники, по четыре. Г=4В/3, Р=4В/2=2В. => В=6, Г=8, Р=12. Это октаэдр.
Вариант пятый. Треугольники, по пять. Г=5В/3, Р=5В/2 => В=12, Г=20, Р=30. Это икосаэдр.
Других правильных многогранников нет.