Методы Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта основаны на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки :

(6)

где – остаточный член формулы Тейлора, характеризующий погрешность разложения.

В зависимости от количества оставляемых членов разложения (6) (при шаге ) различают методы Рунге-Кутта -го порядка:

– метод Эйлера; – метод Эйлера-Коши.

Остальные методы не имеют специальных названий, но когда говорят просто о методе Рунге-Кутта (не указывая его порядка), то имеют в виду метод Рунге-Кутта 4-го порядка ( ), который наиболее часто применяется на практике.

В методах Рунге-Кутта вычисление производных в начальной точке интервала заменяется эквивалентным по результату вычислением первой производной в разных точках этого интервала, отличных от начальной. Это обеспечивает преимущество методов Рунге-Кутта по сравнению с нахождением решения непосредственно по формуле (6).

Одним из серьезных недостатков методов Рунге-Кутта является отсутствие простых способов оценить их ошибку. Известно только, что погрешность ограничения методов Рунге-Кутта, определяемая остаточным членом в формуле Тейлора (6), пропорциональна шагу интегрирования в степени :

. (8)

Коэффициент заранее неизвестен, он зависит от кривизны функции ; его значения приведены в специальной литературе.

Метод Эйлера

Рассмотрим его на примере ДУ первого порядка:

(9)

с известным начальным условием

. (10)

С уть метода. Известна точка по (9). По уравнению (10) можно определить , то есть, провести касательную к кривой в точке . На пересечении этой касательной с прямой получаем следующую точку. Снова вычисляем значение производной, проводим новую касательную и т.д. Очевидно, будет присутствовать погрешность, поскольку касательная в общем случае не совпадает с кривой; при монотонном возрастании (убывании) функции погрешность будет увеличиваться с каждым шагом интегрирования.

В соответствии с изложенным, общая формула для определения значения функции в следующей точке (один шаг численного интегрирования) имеет вид:

, (11)

где .

Сравнивая формулу (11) с формулой численного интегрирования методом прямоугольников

,

приходим к выводу, что метод Эйлера согласуется с методом прямоугольников численного интегрирования.

Поскольку метод Эйлера неточен, он применяется на небольшом промежутке при малом шаге, обеспечивающем достаточную точность.

Метод Эйлера-Коши

(модифицированный метод Эйлера)

Для повышения точности численного интегрирования производную рассчитывают в двух точках элементарного интервала интегрирования –

– и затем их усредняют.

С уть метода. Сначала определяют ориентировочное значение функции по формуле Эйлера (9) (касательная L₁ на рисунке). Далее по той же формуле определяют значение производной в точке (линия L₂, параллельная касательной в точке ). Далее вычисляют среднее арифметическое производных (линия L₃ – биссектриса угла между касательными L₁ и L₂). Далее вычисляют уточненное значение функции (линия L₄ параллельна линии L₃).

Формула вычисления значения функции в следующей точке имеет вид:

. (12)

Сравнивая соответствующие формулы, делаем вывод, что метод Эйлера-Коши согласуется с методом трапеций численного интегрирования.

Метод Рунге-Кутта (4-го порядка)

В этом методе производные K₁, K₂, K₃ и K₄ вычисляются 4 раза при одном и том же шаге h численного интегрирования по следующим формулам:

При этом

. (13)

Таким образом, метод Рунге-Кутта согласуется с методом Симпсона численного интегрирования.