Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Общие понятия

Дифференциальными называются уравнения (ДУ), содержащие, помимо независимой переменной (аргумента) и зависимой переменной (функции), также и одну или несколько производных функции.

Инженерам и научным работникам очень часто приходится с ними сталкиваться, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде ДУ. К сожалению, лишь очень немногие из них удается решить аналитически. Например, очень простое с виду уравнение 1-го порядка

не имеет достаточно простого аналитического решения. Поэтому численные методы решения ДУ играют очень важную роль в практике инженерных расчетов.

Дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные ДУ, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и ДУ в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним. Кроме того, различают общие и частные решения ДУ, являющиеся аналогами неопределенного и определенного интеграла.

Чтобы найти частное решение обыкновенного ДУ -го порядка, необходимо знать значения зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной (начальном), то такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Если же эти условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. При решении этих задач применяются принципиально разные методы и алгоритмы.

Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка имеет следующий вид:

, (1)

где – независимая переменная;

– переменная, зависящая от , значения которой на некотором интервале изменения независимой переменной xÎ[x₀; x_k] необходимо определить;

, ; …; – первая, вторая, …, -я производные зависимой переменной по независимой переменной .

Для того, чтобы найти частные решения уравнения (1) (для решения задачи Коши), должны быть заданы начальных условий

; ; ; …; . (2)

Если ДУ (1) удается разрешить относительно старшей производной, т.е., представить его в виде

, (3)

то его всегда путем введения вспомогательных переменных и проведения эквивалентных преобразований можно представить в виде системы ДУ первого порядка с n неизвестными зависимыми переменными (в нормальной форме Коши), записанных в канонической форме:

(4)

при известных начальных условиях

; ; …; . (5)

В (4) и (5) y₁, y₂, …, y_n – массив вспомогательных переменных, связанных с неизвестной функцией и ее производными однозначными алгебраическими зависимостями перехода от уравнений (1) или (3) к системе (4).

Систему ДУ (4) можно представить в векторной форме:

(6)

с начальными условиями

. (7)

Обзор численных методов решения ду

Численное решение ДУ заключается в приближенном определении для функции , являющейся частным решением ДУ, таблицы ее значений для некоторой последовательности ее аргумента.

Большинство численных методов решения ДУ вида (3) основаны на представлении их в виде (4), (5). Найти решение системы (4) – значит найти значения функций , , …, в точках интервала . Таким образом, мы должны прийти к таблице, и при этом аналитическое задание функции будет неизвестно. Решения ДУ по таблице определяются по строчкам в направлении, указанном стрелкой.

Среди численных методов решения ДУ выделяют одноступенчатые и многоступенчатые.

В одноступенчатых методах для определения значения функции в точке , т.е. , необходима информация о решении в предыдущей точке, т.е. . К одноступенчатым методам относятся методы Рунге-Кутта (в частности, метод Эйлера, метод Эйлера-Коши), наиболее распространенные в практическом применении.

Многоступенчатые методы для определения значения решения в точке требуют информации о нескольких предыдущих точках решения. Кроме того, первоначальное решение затем уточняется итерационно. Большинство таких методов работают по принципу прогноза и коррекции, к ним относятся методы Адамса, Гира, Бэшфорта, Милна и др.

Одноступенчатые методы требуют меньше памяти, но работают при заданной точности медленнее, чем многоступенчатые.