Аппроксимация табличных функций Общие понятия об аппроксимации и интерполяции
Существует три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.
При моделировании электротехнических комплексов часто приходится иметь дело со звеньями типа статическая характеристика, которые представляют собой нелинейную функциональную зависимость, не имеющую точного либо достаточно простого аналитического описания (например, кривая намагничивания двигателя, статическая характеристика асинхронного двигателя, зависимость усилия реза от угла поворота ножниц и т.п.). Такие характеристики на практике получают экспериментальным путем. В справочниках их приводят в виде таблиц, либо в виде графиков, построенных по табличным данным.
В
ЭВМ информацию о нелинейных функциях,
для которых неизвестно аналитическое
выражение, удобно хранить в табличном
виде с помощью массивов. Табличные
значения аргументов
называются узлами
таблицы,
соответствующие значения функции
– значениями
функции в узлах.
Поскольку
любая табличная функция
по своему характеру дискретна, то
возникает задача определения значения
такой функции в произвольной точке
интервала ее существования, которая в
общем случае не совпадает с узлом
таблицы. Такая задача может быть решена
путем замены (аппроксимации,
от лат. approximo
– приближаться) табличной функции
некоторой аналитической функцией,
достаточно близкой к исходной табличной.
Такую аналитическую функцию
называют аппроксимирующей.
В общем случае аппроксимирующая функция
может не проходить ни через одну из
узловых точек таблицы.
Если
критерием близости аппроксимирующей
и табличной функции является их равенство
в узловых точках, то такая аппроксимирующая
аналитическая функция называется
интерполирующей.
Процесс поиска такой функции на заданном
интервале изменения аргумента
называют интерполяцией
(от лат. inter
– внутри, pole
– узел), а вне его – экстраполяцией
(от лат. extra
– снаружи).
При аппроксимации наиболее часто используется так называемый метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации функционала
,
где – количество узловых точек. Задача поиска аппроксимирующей функции при этом называется регрессионным анализом. Аппроксимацию методом наименьших квадратов очень часто используют при обработке экспериментальных данных.
Для выполнения аппроксимации необходимо конкретизировать вид аналитической функции, которая будет играть роль аппроксимирующей. В численном анализе для аппроксимации чаще всего используют следующие виды функций:
1) Степенные многочлены и их комбинации:
или
.
Для
упрощения часто принимают
.
2) Линейные комбинации экспоненциальных функций:
.
3) Комбинации периодических функций, порождающих ряды Фурье (для аппроксимации периодических функций – тригонометрическая аппроксимация, гармонический анализ):
.
4) Нелинейные функции, которые при помощи линеаризующих преобразований удается свести к степенному многочлену (чаще всего 1-го порядка):
Исторически
и прагматически наиболее важным классом
аппроксимирующих функций являются
алгебраические степенные полиномы. Их
легко вычислять (схема Горнера),
складывать, умножать, интегрировать и
дифференцировать. Важным преимуществом
является также то, что если
– полином, а
– константа, то
и
– также полиномы.
Согласно
аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса,
если
– непрерывная функция на интервале
,
то для любого
существует полином
такой, что
.
Однако,
получаемый полином обычно имеет столь
высокий порядок, что пользоваться им
не практично. Кроме того, не существует
универсального алгоритма поиска такого
полинома. Теорема Вейерштрассе ничего
не говорит и о существовании глобального
интерполирующего полинома для заданного
множества точек
.