6) Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

Система уравнений вида:

называется линейной системой из n уравнений с m неизвестными.

(a_ij) коэффициенты при неизвестных x₁, x₂,...,x_m

b₁,b₂,...,b_n - свободные члены

Матрица А системы (*) состоит из коэффициентов a_ij, размера n*m .

Если неизвестные и свободные члены представим в виде:    ,

то систему уравнений (*) мы можем переписать в виде:  (3)

Запись системы в виде (3) называют матричной формой записи системы линейных уравнений (*) .Следует особо обратить внимание на то, что m может быть неравно n . Если m=n и матрица А является невырожденой , то из соотношения (3) вытекает:   (4)

Равенство (4) получается умножением (3) слева на А-1. Система (*) называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение. В противном случае система называется несовместной. Решить систему - означает найти все её решения.

Метод Гаусса

Расмотрим систему (*):

Припишем к матрице А матрицу-столбец В 

Припишем к матрице А матрицу-столбец В: 

Матрица H называется расширенной матрицей системы. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули называется треугольной.Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) состоит в том, что расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований мы приводим к треугольному виду. Если у нас при этом получается матрица вида:  то, система решений не имеет.

Если треугольная матрица получается вида:  ,то система имеет бесконечно много решений. При этом какие-то неизвестные обьявляются свободными, а остальные неизвестные могут быть выражены через них. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. Если матрица примет вид:  ,то этом случае система имеет единственное решение.

Пример: 

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы, приводящие её к треугольному виду, могут быть такими:

~ ~

В итоге получим систему:

Откуда получим значения неизвестных: y = -7,25 x = 2,875 

Пример: 

~ ~ ~

 

__________________________________________________________________

7) Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(*)

А=( ) H=

Т. Кронекера-Капелли.

Система уравнений (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы r(A)=r(H)

Если система совместна, то она имеет единственное решение, если r(A)=r(H)=n и его можно найти методами Крамера или Гаусса.

Если r(A)=r(H)=k<n, то система имеет бесконечно много решений. В этом случае n-k неизвестных обьявляются свободными неизвестными (принимают любые значения), оставшиеся kнеизвестных выражаются через эти свободные неизвестные.

 

Однородные системы линейных уравнений

Если в системе (*) все свободные члены   равны нулю, то такая система является однородной.

Однородные системы всегда совместны т.к.  = = = =0 всегда является решением. Такое решение называется тривиальным.

1) то 

2) Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечно много решений

Свойства решений линейной однородной системы уравнений.

1) Если  является решением системы, то  также является решением.

Доказательство.

2) Если   является решением системы

 также является решением той же самой системы, то и

также является решением системы

Доказательство.

+

откуда получим 

3) Если   и  два различных решения системы, то их линейная комбинация, равная 

также является решением системы.

Доказательство.

+

откуда получим 

Каждое из решений системы можно записать в виде строки

матрицы , тогда на основании свойств можно утверждать, что матрицы  есть решения, то  также являются решением. Минимальная возможная система решений через которую выражаются все остальные решения называется фундаментальной системой решений.

Пример.

~ ~

{ {

   { {

__________________________________________________________________