Определители. Матрицы.

1) Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Определители второго порядка.

Пусть дана матрица второго порядка A=  .

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

Определитель второго порядка равен произведению элементов

Главной диогонали минус произведение элементов Побочной дио-

гонали.

= 1*(-4)-6 = -10

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:

 =   = 

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Заменим алгебраические дополнения на миноры:

 = 

 =   -   + 

Вычисляя миноры, получим:

 = 

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

Свойство 1.

При замене строк на столбцы определитель не меняется.

 = 

(такая операция называется транспонированием).

Следствие: строки и столбцы равноправны ,т.е любые свойства или утверждения относительно строк справедливы и для столбцов и наоборот.

Свойство 2.

При перестановке двух строк определитель меняет знак

на противоположный.

 =  

Следствие: любую строку (столбец ) можно поставить первой (первым)

Свойство 3.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

 = 0

Свойство 4.

Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя.

   

Следствие :

Постоянный множитель можно внести в какую-нибудь строку

   

Свойство 5.

Если элементы какой –либо строки состоят из двух слагаемых,

то определитель можно представить в виде суммы двух определите-

лей.

       

Свойство 6.

Определитель не меняется ,если любую строку умножить на любое

число и прибавить к любой другой строке.

Случаи ,когда определитель равен нулю:

1. Все элементы какой-либо строки равны нулю

2. Две строки одинаковы

3. Элементы двух строк пропорциональны

______________________________________________________________________

2)Свойства определителей. Определители 2-го порядка. Формулы Крамера.

Формулы Крамера

Расмотрим систему уравнений (*). И пусть А- матрица системы

Если i –столбец заменим свободными членами , то соответствующую матрицу обозначим

Если система линейных уравнений (*) такова, что определитель

системы отличен от нуля ,то система линейных уравнений имеет

единственное решение , которое находится по формуле:

______________________________________________________________________

3) Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.

Две матрицы A и B называются равными ,если они имеют

один и тот же порядок и если элементы стоящие на соответствующих местах равны.

 

К линейным операциям относятся :

Умножение матрицы на число

Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент

матрицы умножить на это число:

Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров:

Свойства линейных операций

Если матрица в качестве элементов имеет нули , то такая матрица называется нулевой.

Произведение матриц .

 

 

Пример:

 

. = =

. =

.

Если для матриц А и В выполняется равенство А* В=В*А ,то

матрицы называются перестановочными.

Если для матриц А , В , С имеет смысл операция произведения,

то выполняются равенства

A(B*C)=(A*B)*C

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицы

 

A^T называется транспонированной по отношению к A

Если A_T получена из матрицы А заменой строк на столбцы то

 назавают главной диагональю

Очевидно:

Если А является квадратной матрицей(n*n), то элементы матрицы

Если для квадратной матрицы выполняется условие

то матрица А называется симметричной и в этом случае достаточно указать элементы, стоящие на главной диагонали и элементы, стоящие над главной диагональю.

__________________________________________________________________