ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Вечерне-заочный факультет
Кафедра автоматики и телемеханики
Пояснительная записка
курсовая работа по дисциплине
"методы оптимизации"
ТПЖА
Разработал студент:
Руководитель: к.т.н., доцент Микрюкова В.И.
Работа завершена с оценкой:
Члены комиссии:
Киров
2013 год
Задание на курсовую работу по дисциплине
"методы оптимизации".
ТЕМА: Методы безусловной оптимизации функции нескольких
переменных.
Студент: ____________
1.Введение.
2.Исходные данные, нахождение стационарной точки.
3.Нахождение безусловного экстремума методами прямого поиска
3.1.Метод поиска по симплексу.
3.2.Метод поиска Хука-Дживса.
3.3.Метод сопряженных направлений Пауэлла.
4.Нахождение безусловного экстремума градиентными методами.
4.1.Метод Коши.
4.2.Метод Ньютона.
4.3.Метод сопряженных градиентов.
4.4.Квазиньютоновский метод.
5.Заключение.
руководитель работы: Микрюкова В.И.
задание принял:
Содержание
Введение…………………………………………………………………..
Нахождение стационарной точки.....…………………………………
Методы прямого поиска безусловной оптимизации....…………….
2.1.Метод поиска по симплексу....…………………………………….
2.2.Метод поиска Хука-Дживса..........................................…………….
2.3.Метод сопряженных направлений Пауэлла......……………….
Градиентные методы безусловной оптимизации……………………
3.1. Метод Коши.........................................................................................
3.2Метод Ньютона......................................................................................
3.3.Метод сопряженных градиентов.........................................................
3.4.Квазиньютоновский метод....................................................................
4.Заключение……………………………………………………………...
5.Библиографический список………....................………………………..
Лист.
Введение
Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно. Оптимизация - это выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения.
Практика порождает все новые и новые задачи оптимизации причем их сложность растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Реальные прикладные задачи оптимизации очень сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека.
Оптимизационные методы минимизации и максимизации приобретают всё большую ценность и востребованность.
Методы оптимизации эффективно применяются в самых различных областях человеческой деятельности. Значительные успехи достигнуты при решении задач синтеза и анализа систем различного целевого назначения. Ускоренные темпы теоретических разработок в инженерную практику в существенной степени обусловлены широким распространением и совершенствованием средств вычислительной техники.
В настоящее время для инженера знание методов оптимизации также необходимо, как знание основ математического анализа, физики, радиоэлектроники и других дисциплин.
1. Нахождение стационарной точки
Целевая функция:
Для
того, чтобы в точке
функция f(x) имела безусловный локальный
экстремум необходимо, чтобы все её
частные производные обращались в точке
в нуль.
Найдем
для данной целевой функции
частные производные
по
и
:
Приравняв полученные выражения к нулю, получим систему уравнений:
Решение системы уравнений даёт результат:
Таким
образом, экстремум целевой функции
является точка с координатами х* =
Т,
значение целевой функции, в которой:
.
Для определения характера стационарной точки составим определитель матрицы Гессе. Под определителем Гессе понимается определитель, составленный из вторых производных исходной целевой функции.
Так как гессиан функция - положительно определенная матрица (выполняются условия Сильвестра: все диагональные элементы матрицы Гессе - положительные величины, все ведущие главные определители положительные величины), стационарная точка является точкой минимума.
рис.1 линии уровня функции и точка экстремума x*