Дані для виконання завдання 5

Варіанти схем механічної системи представлені рис.5.1.

Значення мас тіл 1 і 2, а також переміщення S₁ тіла 1 вибирають із табл. 5.

Таблиця 5

Дано	Передостання цифра шифру
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m1, кг	100	120	140	160	180	200	180	160	140	120
m2, кг	40	60	80	100	120	140	100	80	60	40
S1, м	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,6	2,6	2,8

Вказівки до послідовності виконання завдання

1. Визначаємо кінетичну енергію механічної системи в момент часу, коли тіло 1 системи пройде відстань .

Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій тіл, що входять до її складу:

,

де – кінетична енергія тіла 1, – кінетична енергія тіла 2.

Нагадаємо, що тіло, яке ковзає по площині або опускається чи піднімається на тросі, рухається поступальнио, а тіло, що котиться – плоскопаралельно. При цьому плоскопаралельний рух можна розглядати як суму обертального руху навколо центра мас і поступального руху самого центра мас.

Для поступального руху кінетична енергія і-го тіла дорівнює:

,

де - маса – го тіла, – його лінійна швидкість,

Для плоскопаралельного руху кінетична енергія і-го тіла:

,

де – лінійна швидкість центра мас і-го тіла, – його кутова швидкість обертання навколо центра мас, – радіус тіла, – осьовий момент інерції і-го тіла (для катка з раіусом : ).

При складанні даних рівнянь необхідно виразити швидкості руху всіх тіл через шукану швидкість тіла 1. Враховуючи те, що з’єднуючий трос системи не розтягується, лінійна швидкість тіл 1 і 2 буде однаковою: .

2. Знаходимо суму робіт активних сил, сили тертя і моменту опору руху катка (якщо в системі є каток) при переміщенні тіл системи на відстань :

.

де – робота по переміщенню тіла 1, – робота по переміщенню тіла 2.

У випадку, коли активні сили мають додатню проекцію на напрямок руху, робота цих сил буде додатною. Робота активних сил, які мають відємну проекцію на напрямок руху, а також робота сил опору і моментів опору руху, що протилежні напрямку руху, буде від’ємною.

При цьому робота окремої сили на лінійному переміщенні i-го тіла у напрямку дорівнює:

.

де – проекція вектора сили на напрямок переміщення .

Робота окремого обертального моменту при повороті i-го тіла на кут визначається як:

.

Тоді для тіл ковзання, що рухаються в системі поступально, робота на переміщенні і-го тіла буде складатись із роботи сил ваги і роботи сил тертя :

,

де – проекція вектора на напрямок переміщення , – коефіцієнт тертя ковзання поверхні, – сила нормального тиску і-го тіла на поверхню опори.

Для тіл, що рухаються в системі плоскопаралельно (в даному випадку – каток), робота на переміщенні і-го тіла буде складатись з роботи сил ваги по переміщенню центра ваги тіла і роботи моменту опору при повороті тіла на кут :

,

де – проекція вектора на напрямок переміщення , – коефіцієнт тертя кочення, – сила нормального тиску і-го тіла на поверхню опори, – кут повороту тіла (катка з радіусом ) при лінійному переміщенні центра ваги на відстань .

При складанні рівняння для тіл 1 і 2 системи роботу всіх сил необхідно виразити через переміщення тіла 1, яке задається за умовою. Враховуючи те, що з’єднуючий трос системи не розтягується, переміщення тіл 1 і 2 в системі буде однаковим: .

3. Для визначення лінійної швидкості руху тіла 2 застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи:

,

де , – кінетична енергія на початку руху і в момент часу, коли тіло 1 системи пройде відстань відповідно, – алгебраїчна сума робіт активних сил і сил тертя за час руху системи.

Так як за умовою задачі вказано, що в початковий момент система знаходилась в стані спокою, то її кінетична енергія на початку руху дорівнює нулю ( ).

4. Підставивши в ліву і праву частину отриманого рівняння складові, визначаємо невідому швидкість тіла 1.

Приклад 5

Механічна система складається з двох тіл масою і , які з'єднані між собою перекинутим через блок тросом і рухаються із стану спокою (рис. 5.2). Визначити швидкість руху тіла 1 в момент часу, коли воно пройде відстань після початку руху. Масою троса і блока знехтувати та припустити, що трос в процесі руху не деформується.

При розрахунках прийняти: каток суцільний радіуом , коефіцієнт тертя ковзання , коефіцієнт тертя кочення катка .

Рис. 5.2

Розв'язок

Для визначення швидкості тіла 1 системи (катка) в момент часу, коли воно пройде відстань , використовуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи:

,

де – кінетична енергія системи у початковий момент часу, – кінетична енергія системи системи в кінці руху, – алгебраїчна сума робіт активних сил і сил тертя за час руху системи.

Розглянемо окремо ліву і праву частини даного рівняння.

Спочатку визначимо кінетичну енергію механічної системи в момент часу, коли тіло 1 системи пройде відстань :

,

де – кінетична енергія тіла 1 (котка), який здійснює плоскопаралельний рух, – кінетична енергія тіла 2 (вантажу), який рухається поступально.

Для тіла 1:

,

де – лінійна швидкість центра мас 1-го тіла, – його кутова швидкість обертання навколо центра мас, – радіус 1-го тіла, – осьовий момент інерції 1-го тіла.

Або

.

Для тіла 2:

,

де - маса 2 – го тіла, – його лінійна швидкість.

Враховуючи те, що з’єднуючий трос системи не розтягується, лінійна швидкість тіл 1 і 2 буде однаковою: .

Відповідно

.

Тоді

.

Визначимо тепер суму робіт активних сил і сил тертя за час руху системи, доки тіло 1 системи не пройде відстань :

.

де – робота по переміщенню тіла 1, – робота по переміщенню тіла 2.

Для тіла 1:

,

де – вага катка, – моменту опору при коченні тіла 1 по похилій поверхні, – коефіцієнт тертя кочення, – сила нормального тиску 1-го тіла на похилу опорну поверхню, – кут повороту тіла 1 (катка з радіусом ) при лінійному переміщенні центра ваги на відстань .

Підставивши задані значення у попереднє рівняння, отримаємо:

Для тіла 2:

,

де – вага катка, – сила тертя при ковзанні тіла 1 по похилій поверхні, – коефіцієнт тертя ковзання поверхні, – сила нормального тиску 2-го тіла на похилу опорну поверхню.

Враховуючи те, що з’єднуючий трос системи не розтягується, переміщення тіл 1 і 2 в системі буде однаковим: . Тоді, підставивши у попереднє рівняння задані значення і замість переміщення переміщення , отримаємо:

Загальна алгебраїчна сума робіт по переміщенню тіл 1 і 2 системи буде дорівнювати:

.

Прирівнявши вираз кінетичної енеогії системи з отриманим значенням алгебраїчної суми робіт, визначаємо шидкість тіла 1 системи:

,

,

.

Таким чином, в момент часу, коли тіло 1 механічної системи пройде відстань , його швидкість буде дорівнювати 3,94 .

Завдання 6 - Розтяг – стиск

До жорстко закріпленого одним кінцем стального бруса діаметром прикладені поздовжні сили P₁, P₂, P₃ (рис. 6.1). Для заданої схеми навантаження бруса необхідно побудувати епюри повздовжніх сил і нормальних напружень та розрахувати його загальне абсолютне видовження.

При розрахунках прийняти матеріал бруса – сталь із модулем пружності першого роду: Е=2·10⁵ Н/мм².

0	1
2	3
4	5
6	7
8	9

Рис. 6.1