Завдання 2 – Рівновага тіла під дією плоскої системи довільних сил

Визначити опорні реакції балки, на яку діють зосереджена сила Р під кутом до горизонту, рівномірно розподілене навантаження з інтенсивністю q та пара сил з моментом М (рис. 2.1).

0	1
2	3
4	5
6	7
8	9

Рис. 2.1

Дані для виконання завдання 2

Варіанти розрахункових схем балок представлені рис.2.1.

Величини, необхідні для розрахунку, вибирають із табл. 2.

Таблиця 2

Дано	Передостання цифра шифру
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
q, кН/м	0,5	1	2	3	4	3	2	1	0,5	2
Р, кН	8	10	12	14	16	18	20	16	12	10
М, кН м	4	6	8	10	12	10	8	6	4	12
,˚	30	45	60	90	60	45	30	90	60	45
а, м	4	2	6	8	10	8	6	2	4	6
b, м	6	8	4	2	4	4	2	6	4	6
с, м	2	4	2	4	2	4	4	4	6	4

Вказівки до послідовності виконання завдання

1. Кресмлимо схему балки і проводимо осі координат: вісь направляємо вздовж балки, а вісь – через ліву крайню точку балки.

2. На розрахунковій схемі сили, що діють під кутом до осі балки, розкладемо в проекціях на осі координат так, щоб точка прикладення проекцій співпадала з точкою прикладення самої сили.

3. Рівномірно розподілене навантаження, що діє з інтенсивністю q на ділянці довжиною l замінюємо зосередженою силою Q, яка дорівнює Q = q·l і прикладається по центру цієї ділянки.

4. Відкидаємо опори балки і заміняємо їх дію опорними реакціями балки (в нерухомій шарнірній опорі реакція розкладається на дві складові вздовж координатних осей, а в рухомій – реакція напрямлена перпендикулярно до поверхні опори балки).

5. Складаємо три рівняння рівноваги для отриманої плоскої системи довільних сил. Для цього скористаємося ІІ формою запису цих рівнянь:

6. Із отриманих рівнянь визначимо опорні реакції балки. При цьому для нерухомого шарніра через проекції реакції на осі координат та визначаємо модуль складової реакції ;

7. Виконуємо перевірку проведених розрахунків. Для цього використовуємо умову, що алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь Y повинна дорівнювати нулю:

.

При підстановці в дане рівняння знайдених значень реакцій, маємо отримати тотожність: 0 = 0.

Приклад 2

Визначити опорні реакції балки на яку діють зосереджена сила під кутом до горизонту, рівномірно розподілене навантаження з інтенсивністю та пара сил з моментом (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Розв'язок

Рис. 2.3

Накреслимо розрахункову схему заданої балки (рис 2.3).

Для цього проводимо осі координат: вісь направляємо вздовж горизонтальної осі балки, а вісь – через ліву крайню точку балки.

Прикладемо до горизонтальної осі балки у відповідних точках задані активні навантаження. При цьому силу , що спрямована під кутом , розкладемо для зручності на дві складові вздовж координатних осей, які за модулем будуть дорівнювати:

Рівномірно розподілене навантаження, що діє з інтенсивністю на ділянці балки довжиною , замінемо зосередженою силою , яка прикладена по центру цієї ділянки і за величиною дорівнює

Сила спрямована у той же бік, що і саме розподілене навантаження, тобто вертикально донизу.

Покажемо також на розрахунковій схемі пару сил, яка визначається моментом і прикладена в точці балки.

Далі умовно звільнемо балку від в'язей і замінемо їх відповідними реакціями в'язей. У точці розміщена нерухома шарнірна опора, вона має дві складові реакції і , які розташовані вздовж відповідних осей координат. У точці – рухома шарнірна опора, яка має одну реакцію , що напрямлена перпендикулярно до поверхні опори балки вздовж координатної осі .

як видно з побудованої розрахункової схеми, балка перебуває у рівновазі під дією плоскої системи довільних сил.

Для розв'язання цієї задачі використовуємо наступні аналітичні рівняння рівноваги

Складемо відповідні рівняння рівноваги

Розв'язавши отриману систему рівнянь, знаходимо невідомі реакції.

З першого рівняння системи визначимо :

.

З другого рівняння визначимо :

З третього рівняння визначимо :

.

Знак мінус вказує на те, що дійсний напрямок складової реакції буде протилежним, ніж це показано на розрахунковій схемі.

Виконуємо перевірку проведених розрахунків.

Скористаємось тим, що алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь також повинна дорівнювати нулю:

.

Склавши це додаткове рівняння рівноваги і підставивши в нього задані і знайдені значення, отримаємо:

.

Повна реакція у точці може бути визначена через складові та . Вона буде розташована у четвартій чверті і за модулем дорівнює

Таким чином, , .