13

Электричество и магнетизм Н. Ф. Шемяков

Лекция 16

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

1. Ток смещения

Явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем, получило дальнейшее развитие в работах Максвелла. Согласно Фарадею явление электромагнитной индукции состоит в возбуждении электрического тока, например, в замкнутом проводнике, который движется в постоянном магнитном поле. Причиной возникновения индукционного тока является сила Лоренца. Как показал Максвелл, причиной возникновения индукционного тока в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, является возникшее переменное электрическое поле, которое является вихревым, а не потенциальным в отличие от электростатического поля.

Следовательно, электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве нет никаких проводников.

В общем случае, при движении проводника в переменном магнитном поле, индукционный ток возбуждается переменным электрическим полем E, т. е. электрической силой F = q_eE, и магнитной силой Лоренца.

Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая магнитной составляющей силы Лоренца зависит от выбора системы отсчета.

Идеи Фарадея получили развитие в работах Максвелла, который показал, что существует единое электромагнитное поле, составляющее основу теории классической электродинамики. В основу теории электромагнитного поля положена идея Максвелла о симметрии магнитного и электрического полей. Действительно, согласно теореме о циркуляции вектора ,

. (1)

Рис. 1

Применим эту теорему к электрической цепи, содержащей заряженный плоский конденсатор, который замкнут на внешнее сопротивление (рис. 1). В качестве замкнутого контура L возьмем произвольную кривую, охватывающую провод. На этот контур можно натянуть разные поверхности S и S^*. Через поверхность S течет ток проводимости I, а через поверхность S^* тока проводимости нет. Ее пронизывает только электрическое поле конденсатора, которое убывает при разряде конденсатора. По теореме Гаусса поток вектора сквозь замкнутую поверхность

. (2)

Так как при разряде конденсатора поток вектора изменяется во времени, то (3)

Согласно уравнению непрерывности

. (4)

Из уравнений (3) и (4) имеем

, (5)

где слагаемое называют плотностью тока смещения.

Сумму называют плотностью полного тока.

Согласно (5) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения (вектор плотности тока смещения и вектор плотности тока проводимости направлены в одну сторону, см. рис. 1).

С введением полного тока циркуляция вектора уже не зависит от выбора поверхности, натянутой на контур L. Поэтому

. (6)

Таким образом, теорему о циркуляции вектора можно обобщить и на случай полного тока, т. е. . (7)

Справедливость данного выражения подтверждена многочисленными экспериментальными данными. В дифференциальной форме закон полного тока записывается в виде

, (8)

где ротор вектора определяется плотностью тока проводимости и плотностью тока смещения.

Замечание: Ток смещения существует лишь там, где изменяется со временем электрическое поле, и нет никаких зарядов.

Как и любой ток, ток смещения создает магнитное поле.

При наличии диэлектрика .

Поэтому ток смещения состоит из тока поляризации , вызванного движением связанных зарядов, и тока в вакууме , который не связан ни с каким движением зарядов, а целиком обусловлен изменяющимся со временем электрическим полем, возбуждающим переменное магнитное поле.