10. Теплоемкость электронного газа

Согласно первому началу термодинамики

dU = Q  pdV, (34)

где dU  изменение внутренней энергии;

Q  количество теплоты, сообщенное телу; 

А= pdV  работа, совершенная системой.

Согласно второму началу термодинамики

Q = ТdS,

где Т  температура металла; dS  изменение энтропии системы.

Известно, что энергия системы может изменяться и при изменении числа частиц N в ней, т. к. каждая частица, покинувшая систему, уносит с собой определенную энергию.

С учетом этого закон сохранения энергии запишется в виде

dU = ТdS  pdV + dN, (35)

где dN  число частиц в системе;   химический потенциал системы.

Рис. 7

Химический потенциал характеризует изменение энергии изолированной системы постоянного объема, давления и температуры при изменении в ней числа частиц на единицу.

Действительно, по определению

dS = 0,

dV = 0,

dU = dN,

т. е. распределение электронов описывается функцией ФермиДирака, если  = W_F при Т = 0К.

Внутренняя энергия одного моля электронного газа

U_м,э = N_а<W>,

где <W>  средняя энергия электрона в металле.

Молярную теплоемкость электронного газа найдем при

V = сonst, n_o = сonst, W_F = сonst

по формуле

. (36)

Следовательно,

. (37)

По классической теории теплоемкость электронного газа

Рис. 8

С_кл = .

Найдем отношение теплоемкостей

.

Таким образом, вырожденный фермигаз имеет не значительную теплоемкость, так как квантовое распределение ФермиДирака мало чувствительно к температуре.

На рис. 7 и 8 приведены графики зависимости внутренней энергии и молярной теплоемкости от температуры.

11. Число состояний. Плотность состояний

В классической физике состояние частицы определяется заданием трех координат Х, У, Z и трех проекций импульса на оси координат р_х, р_у, р_z.

Если рассмотреть 6мерное пространство с осями координат Х, У, Z, р_х, р_у, р_z , то состояние частицы в нем в любой момент времени определяется фазовой точкой с координатами Х, У, Z, р_х, р_у, р_z.

Такое пространство называют фазовым. Элемент этого фазового пространства координат обозначим

Г_V = dx dy dz.

Элемент объема фазового пространства импульсов обозначим

Г_р = dр_х dр_у dр_z.

У квантовых частиц различным элементам объема шестимерного фазового пространства отвечают различные квантовые состояния микрочастицы, если размер этих элементов объема не меньше h³ (h  постоянная Планка).

В квантовой статистике элементарный объем шестимерного фазового пространства (элементарная ячейка) Г_V = h³, а элемент трехмерного пространства импульсов

, (38)

где V  элементарный объем для свободной частицы, т. е. фазовое пространство квантуется.

Найдем число состояний частицы из интервала энергий (W, W + dW).

Для этого проведем в пространстве импульсов две сферические поверхности с радиусами р и р + dp (рис. 9).

Рис. 9

Шаровой слой имеет объем

V = 4 p²dp.

Число элементарных ячеек в этом слое

. (39)

Поскольку каждой фазовой ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, заключенный между р и p + dp, т. е.

g(p) dp = z.

Если свободные частицы не взаимодействуют друг с другом, то энергия частицы

а ее изменение

.

Тогда

р² =2mW;

.

Следовательно, число состояний

. (40)

Таким образом, плотность состояний

. (41)

Замечание: Для электронов каждой фазовой ячейке соответствуют два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина, т. е. существуют спиновые состояния.

Следовательно, для электронов число состояний необходимо удвоить:

, (42)

. (43)

Плотность состояний

. (44)

Если функцию распределения Ферми  Дирака

умножить на число состояний g(W)dW, то получим полную функцию распределения Ферми Дирака при Т = 0 К

. (45)

Так как в интервале энергий от 0 до W_F функция распределения Ферми-Дирака f_ф = 1, то после интегрирования (5.82) в пределах от 0 до W_F получим число частиц

. (46)

Учитывая, что n₀ = N / V  концентрация электронного газа в металлах, получим формулу энергии Ферми:

. (47)

Зная функцию распределения электронов по энергиям можно найти среднюю энергию электрона при Т = 0 К:

.

Максимальная скорость электронов на уровне Ферми

или v_F  10⁶ м/c.

Средняя квадратичная скорость

.