7.2. Статистика Ферми  Дирака

Рис. 1

Частицы с полуцелым спином в единицах называют фермионами. Собственный момент импульса фермионов L_sz = ± (2m +1) ħ / 2.

К фермионам относятся, например, электроны, протоны, нейтроны и др.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули. Состояние фермионов описывается статистикой Ферми  Дирака. Функция распределения Ферми  Дирака имеет вид:

. (26)

На рис. 1 приведены графики функций распределения Максвелла – Больцмана, Бозе  Эйнштейна и Ферми  Дирака.

8. Распределение электронов в металлах

по энергиям при Т = 0 К.

Если квантовая система состоит из не взаимодействующих фермионов, например, электронов в металлах, то она называется идеальным ферми–газом.

Газ называют вырожденным, если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. Температура вырождения

. (27)

В металлах электронный ферми–газ всегда вырожден, Т_в  210⁴ К.

Рис. 2

Для полупроводников Т_в 10^{ 4} К, так как n_o = 10¹⁸ м ^3, т. е. электронный газ в полупроводниках невырожден при нормальных условиях и описывается статистикой Максвелла-Больцмана.

Кроме электронного газа, невырожденным является фотонный газ (T_В  ).

Дальнейшее развитие квантовой механики привело к созданию квантовой теории твердого тела, позволяющей с единой точки зрения объяснить электрические, тепловые и др. свойства металлов.

В простейшей модели квантовой теории электроны проводимости в металлах рассматривались как идеальный ферми-газ в потенциальном ящике с плоским дном. При Т = 0 К все энергетические состояния равномерно заполнены попарно электронами с противоположным направлением спинов в каждом состоянии, начиная от дна потенциальной ямы, вплоть до максимальной энергии Ферми (W_F = 10 эВ), рис. 2, где А_В – работа выхода электрона из металла, отсчитываемая от уровня Ферми, последнего энергетического уровня, занятого электронами, а не от дна потенциальной ямы, как в классической теории.

Работа выхода – минимальная энергия, которую необходимо затратить для удаления электрона из металла в вакуум.

Горизонтальные линии характеризуют разрешенные энергетические уровни, которые могут занимать электроны. Согласно принципу Паули на каждом уровне могут находиться не более двух электронов с противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов, то последний занятый уровень обозначается N/2 и называется уровнем Ферми (энергия Ферми) для вырожденного электронного газа.

Энергия Ферми – максимальная энергия, которую могут иметь электроны в металле при Т = 0 К.

Рис. 3

Рис. 4

Энергия Ферми, являясь кинетической энергией поступательного движения свободных электронов, не является энергией их теплового движения. Она имеет чисто квантовую природу и справедлива для ферми-частиц. Число уровней, занятых электронами по порядку величины, равно их концентрации.

На рис. 3 приведен график зависимости функции распределения Ферми–Дирака от энергии электрона при Т = 0 K. На рис. 4 показан график распределения электронов в металле по энергиям, где dn – число частиц, энергия которых заключена в интервале (W, W + dW).