16

Постоянный ток

___________________________________________________________________________________________________________________

Лекция 8

1. Классическая теория электропроводности металлов

На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

Большая концентрация электронов в металлах (n_o  10²⁸ - 10²⁹ м^3) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов Друде-Лоренца.

В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.

Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.

Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,

где m - масса электрона; v_кв - средняя квадратичная скорость теплового движения. Например, при температуре Т = 273 К, v_кв  10⁵ м/c.

При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого

, (1)

где n₀ - концентрация электронов; q_e - заряд электрона; v - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = <u> + v.

Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.

При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя скорость упорядоченного движения v  10^3 м/c, т. е. v  u, что объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами.

2. Вывод закона Ома

По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.

Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.

Поэтому на основании второго закона Ньютона

F = ma = m ,

где F = q_eE; Е - напряженность электрического поля.

Средняя скорость упорядоченного движения

v = .

Если средняя продолжительность времени свободного пробега t, то после интегрирования

F = ma = m

получим, что v_мах =

или

v = . (2)

Если u всех электронов одинаковы, но v  u, найдем среднее время пробега электрона

.

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

. (3)

Следовательно, плотность тока

, (4)

где (5)

- удельная электропроводимость проводника.

Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме

j =  E.

3. Вывод закона Джоуля - Ленца

После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.

Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину

. (6)

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

. (7)

В единице объема проводника содержится n₀ электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами

. (8)

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности

, (9)

где

v_мах = 2v.

Используя формулу (2) и

окончательно получим

(10)

или

w = E².

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

. (11)