Линейные системы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений , где , называется линейной системой размерности n, если функция f(x) - линейна. Линейную функцию f(x) можно записать в матричной форме:

f(x) = Ax ,

где A - матрица коэффициентов, x- вектор переменных:

, .

Соответственно система обыкновенных дифференциальных уравнений принимает вид

.

Таким образом, каждая компонента вектора производных является линейной функцией переменных . При исследовании линейных систем не возникает принципиальных трудностей, ибо всегда можно получить решение системы уравнений в аналитическом виде.

Стационарное решение

Стационарное решение линейного дифференциального уравнения удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений Ax = 0.

Если матрица A неособенная, т.е. , то система имеет единственное стационарное решение, при котором все компоненты вектора производных равны нулю: . В фазовом пространстве стационарное движение (состояние) линейной системы будет изображаться точкой, расположенной в начале координат.

Общее решение

Общее решение системы дифференциальных уравнений

определяется как совокупность частных (фундаментальных) решений вида .После подстановки получаем линейную систему алгебраических уравнений:

x = Ax или (A - I)x = 0 , где I - единичная матрица.

Требование не тривиальности решений x(t)  0 приводит к характеристическому уравнению det(A - I) = 0 или в развернутом виде

.

Таким образом, собственные значения матрицы A совпадают с характеристическими числами системы дифференциальных уравнений.

В общем случае _i - комплексные величины _i=_i+j_i . Тогда, если у матрицы A нет кратных собственных значений, аналитическое решение системы дифференциальных уравнений можно представить как сумму фундаментальных решений следующего вида:

• если Im(_i) = 0, то i-я компонента решения представляет собой экспоненту , затухающую при , а при неограниченно возрастающую;

• если , то i-я компонента решения представляет собой экспоненциально взвешенную синусоиду , затухающую при , с неограниченно возрастающей амплитудой при и с постоянной амплитудой при .

Двумерные канонические системы

Из линейной алгебры известно, что любую двумерную линейную систему с помощью линейного преобразования x=My можно свести к канонической форме , где называется жордановой формой матрицы A. Жорданова матрица J принадлежит к одному из четырех типов:

(a) (b) (c) (d) .

Для собственных значений матрицы A справедливо

или ,

где - след матрицы A, а - её определитель.

Таким образом, собственными значениями являются

Соответствующая матрице A жорданова форма J зависит от вида собственных значений:

(а)  > 0 , ₁  ₂ - действительные различные;

(b,c)  = 0 , ₁ = ₂ = ₀ - действительные кратные;

(d)  < 0 , _1,2 =   j - комплексные сопряженные.

Простые канонические системы

Линейная система называется простой, если матрица A неособенная, т.е. detA  0 и A соответственно не имеет нулевых собственных значений. Тогда единственным решением уравнения Ax=0 является x=0 и система имеет единственную неподвижную точку в начале координат фазовой плоскости. Каноническая система, соответствующая простой линейной системе, также является простой, так как матрица A и соответствующая ей жорданова матрица J имеют одинаковые собственные значения.