Билет №1.20. Определение векторного произведения векторов. Основные свойства векторного произведения векторов (с доказательством).
Векторным
произведением вектора
на
вектор
называется
вектор, который обозначается символом
и
определяется следующими тремя условиями:
1)
длина вектора
равна
,
где
–
угол
между векторами
и
;
2) вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ;
3)
тройка векторов
правая, если эти векторы некомпланарны.
Свойства векторного произведения: 1)
Если
Доказательство 2)Если
векторы a
и
b
неколлинеарны,
то длина вектора a
×
b
равна
площади параллелограмма, построенного
на отрезках OA
и
OB,
где O
–
произвольная
точка и
Доказательство следует из определения (первое условие) и формулы нахождения площади параллелограмма. 3)Анти коммутативность: a × b = –b × a. Доказательство следует из определения. 4) (λa) × b =λ(a × b) (2) и a × (λb) =λ(a × b) . Докажем равенство (2). Если λ = 0 или векторы a и b коллинеарны, то это равенство очевидно. Пусть λ ≠ 0 и векторы a и b неколлинеарны. Длина вектора λ (a × b) равна |λ||a||b|sinϕ, где ϕ – угол между векторами a и b. Если λ > 0, то|(λ a) × b| = |λ a||b|sinϕ= |λ||a||b|sinϕ.Если λ < 0, то |(λ a) × b| = |λ a||b|sin(π –ϕ) = |λ||a||b|sinϕ. Векторы, стоящие в обеих частях равенства(2), имеют одинаковые длины. Эти векторы коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен векторам a и b. Покажем, что векторы (λ a) × b, λ (a × b) имеют одно и то же направление. Если λ > 0, то векторы направлены так же, как и вектор a × b. Если же λ < 0, то каждый из векторов направлен противоположно вектору a × b, и, следовательно, векторы имеют о дно и то же направление. Равенство a× (λ b) =λ (a× b) легко выводится из равенств a × b = –b × a и (2). 5) Дистрибутивность: (a + b) × c = a × c + b × c, (3) c× (a + b) = c × a + c × b. Докажем
равенство (3).
Когда среди векторов a,
b
есть
нулевой, равенство очевидно. Будем
считать эти векторы ненулевыми и
докажем сначала равенство
Д
Таким образом, из равенства (5) следует равенство (4). Умножая обе части равенства (4) на | |, получаем равенство (3). Для получения векторного произведения двух линейных комбинаций векторов достаточно каждый член первой комбинации умножить векторно на каждый член второй комбинации и результаты сложить. Докажемравенство:c × (a + b) = –(a + b) × c = –a × c – b × c = c × a + c × b. |
,
то векторы
и
коллинеарны.
(1). Если
векторы a
и
b
коллинеарны,
то ϕ
=
0 или
ϕ
=π.
Если хотя бы один из этих векторов
нулевой, его можно считать коллинеарным
со вторым вектором. Если же оба вектора
a
и
b
ненулевые,
то из равенства (1)
следует sinϕ
=
0,
а значит, векторы a
и
b
коллинеарны.
,
.
,
(4)где
–
вектор
единичной длины.
окажем
теперь равенство (4).
Для
этого фиксируем произвольную точку
O
(рис.б)
и построим векторы
,
,
,
.
Построим, далее, плоскость Π,
проходящую
через точку O
и
перпендикулярную к отрезку OC.
Пусть A'
и
B'
–
ортогональные
проекции точек A
и
B
на
плоскость Π.
Повернем треугольник OA'B'
в
плоскости Π
вокруг
точки O
на
угол π/2
по
часовой стрелке, если смотреть с конца
отрезка OC.
В результате получим треугольник
OA"B".
Имеем
,
(5)