Билет №1.1. Направленные отрезки. Нулевой отрезок. Равные отрезки. Одинаково направленные, противоположно направленные отрезки. Эквивалентные отрезки. Понятие вектора. Равные векторы. Операция откладывания вектора от точки. Длинна вектора. Угол между векторами. Коллинеарные, компланарные векторы.

Направленной отрезок – отрезок прямой, для которого указано, какая из двух ограничивающих его точек является началом и какая его концом.

Нулевой отрезок – отрезок, у которого точки упорядоченной пары (точки начала и конца) совпадают.

Равные отрезки - два отрезка и , у которых упорядоченные пары точек совпадают и .

Пусть заданы два ненулевых направленных отрезка и , лежащих на двух различных параллельных прямых. Проведем через точки и плоскость , не проходящую через точки и . Плоскость разделит множество всех точек пространства, не принадлежащих этой плоскости, на два полупространства.

Одинаково (противоположно) направленные отрезки – два отрезка и , у которых конечные точки лежат (не лежат) в одном полупространстве.

Эквивалентные отрезки - два отрезка и , которые имеют одну и ту же длину и одинаково направленны.

Вектор – класс эквивалентных направленных отрезков.

Равные векторы – вектора, которые составлены из одних и тех же направленных отрезков. если .

Откладывание вектора от точки – операция построения направленного отрезка , для которого имеет место равенство . Если заданы вектор и точка , то существует единственная точка , такая, что

Длина вектора – длина любого из направляющих отрезков, образующих этот вектор. Обозначается .

Пусть заданы два вектора и . Отложим оба этих вектора от какой-либо одной точки . Угол между векторами и – величина угла между отрезками и .

Коллинеарные (компланарные) векторы - векторы, у которых их образующие направленные отрезки параллельны некоторой прямой (плоскости).

Направленный отрезок называется параллельным прямой , если прямая, на которой он расположен, параллельна прямой .

Билет №1.2. Правило замыкающей, правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения вектором (с доказательством).

Правило замыкающей сложения векторов: Пусть заданы два вектора и . Возьмем точку и отложим от нее вектор , т. е. построим такой отрезок , что . Далее, от точки отложим , т. е. построим такой отрезок , что Вектор, определяемый отрезком , называется суммой векторов и и обозначается .

Правило параллелограмма сложения векторов: Пусть и – неколлинеарные векторы. Отложим оба этих вектора от одной точки , т. е. найдем такие точки и , что и . В плоскости, определяемой точками , , , построим параллелограмм на сторонах и . Так как и , то .

Свойства операции сложения векторов: Коммутативность сложения: Сумма двух неколлинеарных векторов не зависит от порядка слагаемых. Из правила замыкающей как в случае сонаправленных (рис. 1, а), так и в случае противоположно направленных векторов (рис. 1, б). Таким образом, операция сложения векторов подобно операции сложения чисел коммутативна. А ссоциативность сложения: Отложим от произвольной точки (рис. 2) вектор , т. е. построим такую точку , что . Далее построим точку B, такую, что . По определению суммы векторов: . Прибавим теперь к этому вектору вектор . Для этого построим точку C, такую, что . Имеем . С другой стороны, и, следовательно: .Сопоставляя эти два равенства, получаем: . Нейтральный элемент: Отметим, что нулевой вектор 0, т. е. класс всех нулевых отрезков, играет роль нейтрального элемента для операции сложения векторов: для любого вектора : Обратный элемент: Пусть – произвольный вектор. Построим какой-либо направленный отрезок A B, определяющий вектор a. Вектор, определяемый направленным отрезком B A, называется противоположным вектору a и обозначается – a. Согласно операции сложения векторов, получим: .

Билет №1.3. Произведение вектора на число. Свойства операции произведения вектора на число (с доказательством).

Произведением вектора на действительное число называется вектор, который обозначается и определяется следующими условиями: а) длина вектора равна , т. е. произведению модуля числа на длину вектора ; б) векторы и имеют одно и то же направление, если , и противоположные направления, если .

О сновные свойства произведения вектора на число: 1) . 2) . 3) . Длина вектора, стоящего в левой части, равна . Этому же числу равна и длина вектора, стоящего в правой части этого равенства. Если , то направления векторов, стоящих в обеих частях рассматриваемого равенства, также одинаковы. Эти векторы имеют направление, одинаковое с направлением вектора , если числа и одного знака, и направление, противоположное направлению вектора , если . 4) . Равенство очевидно в следующих случаях: а) ; б) ; в) по крайней мере, один из векторов и – нулевой. Пусть и векторы и не коллинеарны. Возьмем произвольную точку и построим точки и так, чтобы , и, следовательно, (рис. 1). Далее найдем точки и , такие, что , . Треугольники и подобны, так как они имеют общий угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Отсюда следует . Но так как векторы и имеют, кроме того, одно и то же направление, то . Пусть , а векторы и коллинеарны. Возьмем произвольную точку (рис. 2) и построим точки и так, что , . Выделим точку , не лежащую на прямой , и построим лучи , и . Найдем на луче такую точку , что , и проведем через нее прямую , параллельную прямой . Пусть прямая пересекает луч в точке и луч в точке . Мы получили три пары подобных треугольников: , , . Отсюда , , . При доказательство проводится аналогично. 5) . Равенство очевидно, если: ; б ; в) по крайней мере, одно из чисел ,μравно нулю. Пусть и имеют одинаковые знаки. Очевидно, что векторы, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют одно и то же направление. Покажем, что длины этих векторов также одинаковы: .

Билет №1.4. Ось. Величина направленного отрезка. Теорема о соотношении для величин направленных отрезков с концами в трех произвольных точках , , оси с выбранной масштабной единицей (с доказательством).

Ось – прямая, на которой выбрано положительное направление.

Назовем величиной направленного отрезка оси и обозначим символом число, равное . Очевидно, что величина нулевого отрезка равна нулю и .

Теорема: Для любых трех точек , , оси, на которой выбрана масштабная единица, имеет место следующее соотношение: . Доказательство: Если все три точки , , различны, то их взаимное расположение может быть таким, как указано на рисунке. Кроме того, возможны случаи, когда две из точек , , или все три совпадают. В первом случае, согласно равенству , длина отрезка равна сумме длин его частей, и, следовательно, оно справедливо. Во втором случае . Пусть теперь точки и совпадают. Тогда: , т. е. равенство верно.

Билет №1.5. Проекция на ось в пространстве. Проекция точек, направленного отрезка, вектора на ось параллельно плоскости; величина проекции направленного отрезка, вектора на ось параллельно плоскости. Проекция фигур, расположенных в плоскости. Проекция на плоскость.

Проекция на ось в пространстве: Пусть – некоторая ось и – плоскость, не параллельная (рис. 1). Через произвольную точку проведем плоскость . Плоскость пересечет ось в некоторой точке . Точка называется проекцией точки на ось параллельно плоскости . Если плоскость Πперпендикулярна к оси , то проекция называется прямоугольной или ортогональной.

В озьмем произвольный направленный отрезок . Проектируя точки и на ось , получаем на этой оси направленный отрезок , который назовем проекцией отрезка на ось параллельно плоскости . Обозначается . Очевидно, что проекции эквивалентных отрезков эквивалентны, а величины этих проекцийравны.

Пусть теперь задан вектор , т. е. класс эквивалентных друг другу направленных отрезков. Проекции этих отрезков на ось образуют на оси класс эквивалентных друг другу направленных отрезков, т. е. вектор на оси . Этот вектор назовем проекцией вектора на ось . Обозначается .

Проекция множеств, расположенных в плоскости (фигур): Все точки множества, проектируемого на ось , находятся в плоскости , в которой лежит ось . Пусть – некоторая прямая плоскости , не параллельная оси . Проведем через произвольную точку плоскости прямую, параллельную прямой , и найдем точку ее пересечения с осью (рис. 2). Точка называется проекцией точки на ось параллельно прямой .

Проекция на плоскость: Пусть – некоторая плоскость и – прямая, не параллельная ей. Проведем через произвольную точку пространства прямую , параллельную прямой , и найдем точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 3). Точка называется проекцией точки на плоскость параллельно прямой . Если прямая перпендикулярна к плоскости , то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.