15. Интерполяция сплайнами.

Сплайн - способ аппроксимации функции, заданной таблично, с помощью набора кусочно-полиномиальных зависимостей. Исторически понятие сплайна связывают с гибкой линейкой, применяемой в чертежных работах. Из курса механики деформируемых стержней известно уравнение изгиба упругого стержня:

,

где Е - модуль упругости, I - момент инерции поперечного сечения, u - функция прогиба, q(x) - распределенная нагрузка. В случае отсутствия нагрузки получаем однородное уравнение

,

имеющее решение, представляемое кубическим полиномом

,

- постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Иными словами, гибкая линейка, помещенная на плоскости, плавно (то есть без изломов) изогнется так, что ее форму между любыми двумя соседними точками можно описать кубической параболой. Поэтому традиционно под сплайном понимают интерполяцию табличной функции с помощью отрезков кубического полинома.

16. Интерполяция с помощью метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов

В практических исследования часто возникает ситуация, когда необходимо аппроксимировать табличные значения с помощью приближения (x), содержащего определяемые коэффициенты в количестве, меньшем чем число узловых точек, m < n. По этой причине, в отличие от рассмотренных ранее способов аппроксимации функции полиномами Ньютона, Лагранжа, сплайнами, не используется условие - равенство значений функции f(x) и ее приближения (x) для заданного числа значений аргумента. Так, в рассматриваемом методе наименьших квадратов, “близость” аппроксимирующего многочлена к самой функции оценивается с помощью какой-либо нормы, то есть “в среднем” для всего отрезка, на котором строится аппроксимация. Для получения алгоритма построения приближения воспользуемся полученными соотношениями (4.26) - (4.31).

Пусть известен набор значений функции для ряда значений ее аргумента. Для рассматриваемого случая положим H = . В линейном пространстве размерности (n+1) скалярное произведение и норма определяются известным образом:

,

.

Пусть отыскиваемое приближение зависит от известного числа m параметров .

Степень отклонения функции f(x) от ее приближения (x) определяется соотношением

(4.32)

Для определения наименьшего отклонения воспользуемся необходимыми условиями минимума функции нескольких переменных:

Иными словами, речь идет о решении системы алгебраических уравнений, в общем случае - нелинейных:

В частном случае, когда приближение (x) представимо в виде

,

оценку (4.32) отклонения функции от ее приближения можно записать в форме:

.

Условие минимальности отклонения приближения от функции записывается аналогично представленному выше:

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения :

Пример приближения функции | x | на отрезке [-1, 1] с использованием метода наименьших квадратов приведен на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Приближение полиномами P_n функции |x| методом наименьших квадратов