13) Плотность потенциальной энергии при чистом сдвиге

Рассмотрим изменение формы прямоугольного элемента с размерами dx, dу и толщиной

Примем нижнюю грань элемента за неподвижную, тогда при смещении верхней грани сила совершит работу на перемещении y dy

Так как сила меняется пропорционально смещению, то ее работа равна половине произведения

Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна

Если отнести энергию к единице объема, получим

С учетом закона Гука

Величина U0 называется плотностью потенциальной энергии при сдвиге

14) Деформации, напряжения, перемещения при кручении бруса с прямоугольным поперечным сечением

Касательные напряжения и для некруглых сечений при кручении бруса следуют закону циркуляции и в точках, расположенных вблизи контура, они направлены по касательной к дуге контура. Если поперечные сечения имеют внешние углы, то в них касательные напряжения будут равны нулю .

Максимальные напряжения возникают у поверхности посредине длинных сторон - h (в точках А) и определяются по формуле:

Напряжения, возникающие посредине коротких сторон - b (в точках B) , определяются по формуле:

Момент сопротивления при кручении равен

Здесь момент инерции при кручении равен

Относительный угол закручивания определяется по формуле

16.Деформации, напряжения, перемещения при кручении бруса с тонкостенным замкнутым поперечным сечением.

Профили тонкостенных стержней подразделяются на два типа: а) открытые (незамкнутые) и б) замкнутые. Стержни замкнутого профиля рассчитываются в предположении, что касательные напряжения распределяются по толщине стенки равномерно и, таким образом, следуют закону потока. Максимальные касательные напряжения . . . . . . . . .

17. Расчёт статически-неопределимых конструкций на кручение.

, (в общем случае).

,

,

,

,

, .

, ,

, ,

, .

18.Расчёт на прочность и жёсткость при кручении

Условие прочности при расчете вала на кручение имеет вид: . Из условия прочности круглое сечение вала подбирают по формуле: откуда . Из условия прочности определяется наружный диаметр D кольцевого сечения вала по формуле: .

Условие жесткости при расчете вала на кручение имеет вид: . Максимальный относительный угол закручивания не должен превышать некоторого допускаемого значения, например . Условие жесткости записывается : . Из условия жесткости круглое сечение вала подбирают по формуле откуда . Из условия жесткости определяется наружный диаметр D кольцевого сечения вала по формуле .

19. Вычисление нормальных напряжений при чистом изгибе.

В соответствии с гипотезой о ненадавливании волокон друг на друга, все точки бруса при чистом изгибе находятся в состоянии линейного напряженного состояния. И по закону Гука получим .

20.Вычисление нормальных и касательных напряжений при поперечном изгибе.

Напряжения вычисляются по формулам . Формула касательных напряжений ( ), возникающих в точках поперечного сечения балки, находящихся на расстоянии y от нейтральной оси x: (формула Журавского).

21.Потенциальная энергия бруса при поперечном изгибе.

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Ось изогнутого бруса, или, как условно называют, изогнутая ось, представляет собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, ее называют также упругой линией. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений переходит в новое положение: центр тяжести получает вертикальное v и горизонтальное u линейные перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол θ вокруг своей нейтральной оси 

22. Определение центра тяжести поперечного сечения произвольной формы (метод). Центр тяжести треугольного сечения.

Если известны координаты х_с и у_с центра тяжести С фигуры, то по аналогии с моментом сил, можно на основании теоремы о моменте равнодействующей записать =F y_C и S_y =F x_C. Координаты центра тяжести можно определить по формулам: . Центр тяжести .

23. Вычисление моментов инерции простейших фигур. Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей координат.

Прямоугольник: , , .

Равнобедренный треугольник: , , .

Треугольник: , .

Круг: , , .

Кольцо: , , , .

Полукруг: , , .

Координаты любой площадки dF в координатной системе х₁ , y₁ можно выразить через координаты в старых осях так: х₁ =x+a, y₁ =y+b

24. Преобразование моментов инерции при повороте осей координат. Главные моменты и главные оси инерции.

Координаты произвольной площадки dF в координатной системе х₁ , y₁ выражаются через координаты х и у прежней координатной системы следующим образом: . После подстановки этих выражений в формулы получим

. Полученные формулы справедливы и для центральных осей.

Если оси х и у сечения являются центральными, то главные оси называются главными центральными осями, а моменты инерции -главными центральными моментами инерции.

.

Такие оси, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой – минемален, называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

25. Основное дифференциальное уравнение изгиба и его интегрирование.

Дифференциальное уравнение изгиба записывается в следующей форме: . После интегрирования этого уравнения были получены значения прогиба v(z) и угла поворота dv/dz. Дифференцируя это равенство по z и используя уравнение равновесия получим: . Снова повторяем дифференцирование и приходим к следующему дифференциальному уравнению: . Это и есть основная форма дифференциального уравнения плоского изгиба.

26. Универсальное уравнение упругой линии балки.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением упругой линии балки.

27. Вычисление главных напряжений для двухосного напряжённого состояния. Построение круга Мора для двухосного напряжённого состояния.

, . Полученным формулам и можно дать геометрическое толкование в виде так называемых кругов напряжений Мора.

28. Расчёт на прочность балок.

Оценка прочности производится по общей формуле . - эквивалентное напряжение, определяемое в соответствии с принятыми гипотезами прочности: - по теории наибольших касательных напряжений, - по энергетической теории формоизменения. Величины касательных напряжений в опасных сечениях (там, где М = М_mах) имеют значительно меньшие значения, чем величины нормальных напряжений. В балках сплошного сечения это расхождение тем больше, чем точка К ближе к краевой точке. Поэтому оценка прочности таких балок (прямоугольного, круглого и т.п. сечений) осуществляется по условию прочности для чистого изгиба.

Расчет балок тонкостенного профиля, которые являются более экономичными при действии поперечной нагрузки. Тонкостенные балки изготавливаются в виде прокатной стали двутаврового или швеллерного профиля . В таблицах содержится среднее значение толщины полки , которое и принимается при определении касательных напряжений в точке 2 стенки . Касательные напряжения определяются по формуле, аналогичной : . определяется по данным сортамента и равна s , а определяется по формуле: .