4.Напряжения и деформации в деформируемом твёрдом теле.

Между упругими деформациями и напряжениями существует линейная зависимость, называемая законом Гука:

Здесь Е – линейный модуль упругости, для многих сталей Е = 2 * 10 ⁵ Мпа или Е = 2 * 10 ⁶ кГ / см ² .

где ЕF называется жесткостью бруса при растяжении.

Когда вдоль всего стержня N = const и жесткость стержня ЕF = const

При растяжении бруса его поперечное сечение будет уменьшаться,

и, наоборот, при сжатии - увеличиваться в размерах.

Величина относительной линейной поперечной деформации (рис.3 .1, д)

в упругом теле связана с величиной относительной продольной деформации следующей зависимостью

Здесь – коэффициент Пуассона, для сталей равен 1/3.

5. Деформации, напряжения и потенциальная энергия при растяжении

При растяжении стержня его сечения получают перемещения w. Абсолютное перемещение сечения i обозначим w i , а относительное (взаимное) перемещение двух сечений i и k обозначим w i - k.

Взаимное перемещение двух сечений i и k w i – k будет равно абсолютной деформации стержня на участке длиной L i - k .

При Е = const формулу можно представить в таком виде

Выражение интеграла в этой формуле представляет собой площадь эпюры нормальных напряжений на участке интегрирования

При совершении внешними силами P I работы на перемещениях w i в стержне накапливается потенциальная энергия упругой деформации - U, численно равная работе внутренних сил N(z).

П риложим к элементу dz стержня (рис. 3.1, г) силы N.

Р абота силы N также действующей статически, на абсолютной деформации элемента будет равна

Потенциальная энергия, накапливаемая всем стержнем, определится формулой

6.Плотность потенциальной энергии при растяжении.

7. Напряжение в наклонных площадках при растяжении и сжатии

Рассмотрим зависимость напряжений от положения сечения в брусе при его растяжении . Напряжения в точках поперечного сечения определяются по формуле:

Если проведем через произвольную точку К сечение не поперек оси бруса, а под наклоном с углом α .

В наклонном сечении будет действовать равномерно распределенные напряжения

Выделим в окрестности точки К элементарную площадку разложим вектор полного напряжения на составляющие

То получим

На этих площадках нормальные напряжения принимают экстремальные значения

Площадки, на которых касательные напряжения не действуют - , называются главными площадками , нормали к этим площадкам - главными осями, а нормальные напряжения на этих площадках - главными напряжениями.

Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к главным

Два важных вывода:

Сумма нормальных напряжений по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина.

Касательные напряжения по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам равны между собой и направлены либо друг к другу

(к точке К), либо друг от друга - закон парности касательных напряжений.