Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ekzamen_v_2_0.docx
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
486.11 Кб
Скачать

19.Дивергенция векторного поля.

     Свойства дивергенции 

20. Теорема Остроградского-Гаусса.

Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности    удобно применить формулу Остроградского – Гаусса:

  , (5)

где   – дивергенция векторного поля   в точке  .

Поток будет равен тройному интегралу от  , взятому по объему  , ограниченному поверхностью  .

Если в пространстве задано векторное поле   и линия  , то работа этого поля вдоль линии    представляет собой криволинейный интеграл 

21.Векторные тождества.

Введём обозначение: – формальный оператор, – оператор Гамильтона.

Пусть u– скалярное поле. Тогда .

Пусть – векторное поле. Тогда .

.

22.Потенциальные и соленоидальные поля.

Потенциальные векторные поля

Для того, чтобы поле было потенциальным в области G, необходимо и достаточно , чтобы выполнялось одно из условий:

для любой замкнутой кривой L.

Для любых двух кривых, у которых совпадают начала и концы, .

.

Первые два условия эквивалентны. Докажем второе условие: пусть . Тогда (по тереме о среднем) , где . Тогда . Аналогично поле потенциально.

Соленоидальные векторные поля

Векторное поле называется соленоидальным, если для любой замкнутой поверхности , ограничивающей некоторое тело V, .

Поле соленоидально тогда и только тогда, когда .

Пусть . Тогда по теореме Остроградского .

Пусть – соленоидально, т.е. . Пусть . Тогда существует сфера и при , т.е. . Пусть – поверхность V. Тогда по теореме Остроградского , что противоречит тому, что поле соленоидально, следовательно, .

Если поле соленоидально, то существует векторное поле .

23.Ротор векторного поля. или в символическом виде

     Свойства ротора 

24.Формула Стокса.

 Формула Стокса 

обход контура   (границы поверхности S) согласован с выбором стороны поверхности S.

     Формула Стокса в символической форме 

(  - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.

25. Дифференциальные уравнения.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. 

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.  Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов  , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  Обозначив  , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.  Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

Использование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).  Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).  Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

           

Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

           

Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

           

Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

           

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):

           

Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

           

Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

           

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x). 

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций  , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.  Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица  видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть

Число, сравниваемое с корнем

 характеристического уравнения

Вид частного решения

0 - не корень

0 - корень кратности k

 - не корень

 - корень кратности k

- не корень

- корень кратности k

- не корень

- корень кратности k

Здесь    -многочлены степени s, а   - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]