1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.
О
п р е д е л е н и е. Пусть
функция f (x,
) двух
переменных определена для всех значений
х в промежутке [a, b] и
всех значений
во
множестве 
и
при каждом постоянном
значении
из 
функция f (x,
) интегрируема
в промежутке [a, b] в
собственном или несобственном смысле.
Тогда интеграл
(72)
является функцией переменной или параметра и называется интегралом, зависящим от параметра.
Приведем основные свойства интеграла, зависящего от параметра:
1. В предположении, что область представляет собой конечный промежуток [c, d], рассмотрим вопрос о непрерывности функции I ( ) (72).
Т е о р е м а 1. Если функция f(x, ) определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a, b, c, d], то интеграл (72) будет непрерывной функцией от параметра l в промежутке [c, d].
2. Дифференцирование по параметру под знаком интеграла.
Т
е о р е м а 2. Пусть
функция f(x,
) и
частная производная 
непрерывны
в прямоугольнике 
. В
этом случае существует производная 
, которая
определяется по формуле
.
(73)
Эти результаты можно обобщить. Именно: вместо интеграла (72) можно рассмотреть интеграл
,
(74)
где g(x) является функцией абсолютно интегрируемой в промежутке [a, b] (возможно, и в несобственном смысле). Тогда при предположениях теоремы 2 о функции f(x, ) будет иметь место формула
.
(75)
В формуле (73) предполагается, что пределы интегрирования a и b не зависят от параметра . Если же a и b являются функциями , т.е. a( ), b( ), и наряду с выполнением условий теоремы 2 существуют производные a/( ), b/( ), то производная интеграла (72) по параметру выражается следующей формулой:
.
(76)
3. Интегрирование по параметру под знаком интеграла.
Т е о р е м а 3. Если функция f(x, ) непрерывна по переменным х и в прямоугольнике , то имеет место следующая формула:
.
(77)
В формуле (77) пределы интегрирования a и b не зависят от параметра .
2. Формула Лейбница.
Пусть
функция 
непрерывна вместе
со своей первой производной 
на
прямоугольнике 
(отрезок 
включает
в себя множества значений 
),
a функции 
дифференцируемы
на 
.
Тогда интеграл 
дифференцируем
по 
на
и
справедливо равенство
3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Понятие равномерной сходимости
В случае бесконечной области интегрирования интегралы, зависящие от параметра, являются несобственными. В этом случае особую роль играет понятие равномерной сходимости интегралов.
Пусть
функция f(x,
)
задана для всех значений х 
а и
всех значений
в
некоторой области
,
и для каждого значения
в
этой области существует интеграл
.
(79)
По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом (67)
.
(80)
Таким образом, интеграл
(81)
представляет
собой функцию от А и
при
фиксированном
(
=
const) и 
имеет
пределом I (
).
Если стремление интеграла (80) к I ( ) происходит равномерно относительно в области , то интеграл I ( ) называют равномерно сходящимся относительно для указанных значений параметра.
Это
значит, что для любого 
>
0 найдется такое независящее от
параметра
число 
,
что при А > А0 неравенство
будет выполняться одновременно для всех значений из области .
Достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
Пусть функция f (x, ) интегрируема по х в конечном промежутке [a, A] (A a).
Если
существует такая, зависящая только
от х функция 
(х),
интегрируемая в бесконечном промежутке 
,
что при всех значениях
в
(82)
то интеграл (79) сходится равномерно относительно (в указанной области его значений).
В этих условиях иногда говорят, что f (x, ) имеет интегрируемую мажоранту (х) или что интеграл (79) мажорируется сходящимся интегралом
.
(83)
Основные свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра
Предельный переход под знаком интеграла.
Пусть
для функции f (x,
)
при 
существует
конечная предельная функция 
(х),
т.е.
,
(х из
Х)
и f (x, ) – интегрируемая и стремится к (х) равномерно относительно х в конечном промежутке [a, A] при любом А>a. Если, сверх того, интеграл
сходится равномерно относительно (в области ), то имеет место следующая формула:
.
(84)
Дифференцируемость интеграла по параметру.
Пусть
функция f (x,
)
определена и непрерывна по х для х
а и
в
[c, d]
и, кроме того, имеет в этих областях
непрерывную по двум переменным
производную 
.
Если при этих условиях интеграл (79)
сходится для всех значений
из
[c,d],
а интеграл
сходится равномерно относительно в том же промежутке, тогда при любом из [c, d] имеет место формула
.
(85)
Интегрирование интеграла по параметру.
Пусть функция f(x, ) определена и непрерывна по х для х а и в [c, d]. Если интеграл
сходится равномерно относительно в промежутке [c, d], он представляет собой непрерывную функцию от параметра в этом промежутке, и имеет место формула
.
(86)